群論の問題

1. 位数 2 の元の対角化

$A\in G$ が $A^2=I$ を満たすとする。$A$ の最小多項式は
$$x^2-1=(x-1)(x+1)$$
を割り切る。標数が $3\ne 2$ なので $1\ne -1$ であり、この多項式は相異なる 1 次式の積である。したがって $A$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上で対角化可能で、
$${\mathbb{F}}_3^3=V_{+}\oplus V_{-}$$
と分解できる。ここで $V_{\pm }$ は固有値 $\pm 1$ の固有空間である。

逆に、直和分解 ${\mathbb{F}}_3^3=V_{+}\oplus V_{-}$ を 1 つ与えると、$V_{+}$ 上で恒等写像、$V_{-}$ 上で $-1$ 倍として $A$ が一意に定まり、$A^2=I$ を満たす。よって $A^2=I$ を満たす $A$ と直和分解 $(V_{+},V_{-})$ は 1 対 1 に対応する。$A\ne I$ であることは $k=\dim V_{-}\ge 1$ と同値である。

2. 各 $k$ についての個数

$\dim V_{-}=k$ である $A$ は、$\mathrm{diag}(\underset{k}{\underbrace{-1,\dots ,-1}},1,\dots ,1)$ の共役類をなす。その中心化群は $G{L}_k({\mathbb{F}}_3)\times G{L}_{3-k}({\mathbb{F}}_3)$ であるから、個数は
$$\frac{|G{L}_3({\mathbb{F}}_3)|}{|G{L}_k({\mathbb{F}}_3)||G{L}_{3-k}({\mathbb{F}}_3)|}$$
である。

各群の位数は次のとおりである。
$$|G{L}_3({\mathbb{F}}_3)|=(3^3-1)(3^3-3)(3^3-3^2)=26\cdot 24\cdot 18=11232,$$
$$|G{L}_2({\mathbb{F}}_3)|=(9-1)(9-3)=48,|G{L}_1({\mathbb{F}}_3)|=2.$$

• $k=1$ のとき: $\frac{11232}{2\cdot 48}=117$。
• 検算: 直線 $V_{-}$ の選び方は $\frac{3^3-1}{3-1}=13$ 通りある。それと補い合う平面 $V_{+}$ の選び方は $3^2=9$ 通りある。よって $13\cdot 9=117$ となり一致する。
• $k=2$ のとき: $V_{+}$ と $V_{-}$ の役割を入れかえれば $k=1$ の場合と同じで、$117$。
• $k=3$ のとき: $A=-I$ の $1$ 個。

3. 結論

以上を合計して、位数がちょうど $2$ の元の個数は
$$117+117+1=235.$$

標数は $3\ne 2$ なので、$A^2=I$ を満たす $A$ は $x^2-1=(x-1)(x+1)$ が重根をもたないことから対角化可能で、固有値は $\pm 1$ のみである。$V={\mathbb{F}}_3^3$ を $V=V_{+}\oplus V_{-}$（$A$ の $+1$ 固有空間と $-1$ 固有空間への分解）と見る。$\dim V_{-}=k$ とすると $A\ne I$ は $k\ge 1$ と同値である。

・$k=3$: $A=-I$ の 1 個。
・$k=1$: $V_{-}$ は直線で、${\mathbb{F}}_3^3$ の直線は $(27-1)/2=13$ 本ある。$V_{+}$ は $V_{-}$ を含まない平面である。平面は全部で 13 個あり、与えられた直線を含む平面は 4 個なので、補空間となる平面は $13-4=9$ 個。よって $13\cdot 9=117$ 個。
・$k=2$: 対称に（$A\mapsto -A$ の対応により）117 個。

検算: $|G{L}_3({\mathbb{F}}_3)|=26\cdot 24\cdot 18=11232$ であり、$\mathrm{diag}(-1,1,1)$ の中心化群は $G{L}_1\times G{L}_2$ で位数 $2\cdot 48=96$ である。共役類の大きさは $11232/96=117$ で一致する。

合計は $117+117+1=235$。