群論の問題

$|G|$ の計算. $G{L}_2({\mathbb{F}}_5)$ の位数は、第 1 列が零でないベクトル（$25-1=24$ 通り）、第 2 列が第 1 列の倍数でないベクトル（$25-5=20$ 通り）を選ぶことで $24\cdot 20=480$。行列式写像 $\det :G{L}_2({\mathbb{F}}_5)\to {\mathbb{F}}_5^{\times }$ は全射準同型で、その核が $S{L}_2({\mathbb{F}}_5)$ なので
$$|G|=\frac{480}{4}=120.$$

中心化群の計算. $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ とおくと $A=I+N$ なので、$X$ が $A$ と可換 $⟺$ $X$ が $N$ と可換である。$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ とすると
$$XN=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& c\end{array}\right),NX=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& 0\end{array}\right).$$
これらが等しいのは $c=0,a=d$ のときである。よって $A$ と可換な行列は $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$ の形で、$X\in G$ となる条件は $\det X=a^2=1$、すなわち $a=\pm 1$。$b\in {\mathbb{F}}_5$ は任意なので
$$|C_G(A)|=2\cdot 5=10.$$

共役類の大きさ. $G$ の $A$ への共役作用に軌道・固定群の関係を用いると、共役類の大きさは中心化群の指数に等しい:
$$|\{gA{g}^{-1}\mid g\in G\}|=[G:C_G(A)]=\frac{120}{10}=12.$$

（参考: $G{L}_2({\mathbb{F}}_5)$ では中心化群の位数が $4\cdot 5=20$ で共役類の大きさは $480/20=24$ である。$S{L}_2({\mathbb{F}}_5)$ ではこの共役類が大きさ $12$ の $2$ つの共役類に分かれる。）

答えは $12$ である。

$|G|=|S{L}_2({\mathbb{F}}_5)|=5(5^2-1)=120$。共役類の大きさは $|G|/|C_G(A)|$ で与えられる。

$g=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ が $A$ と可換 $⟺gA=Ag$。$gA=\left(\begin{array}{cc}a& a+b\\ c& c+d\end{array}\right)$、$Ag=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ c& d\end{array}\right)$ なので、$c=0$ かつ $a=d$。$\det g=a^2=1$ より $a=\pm 1$。$b$ は任意の 5 通り。よって $C_G(A)=\{\pm \left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right)\}$ で $|C_G(A)|=2\cdot 5=10$。

共役類の元の個数は $120/10=12$。

検算: $S{L}_2({\mathbb{F}}_5)$ の位数 5 の元（非単位のべき単元）は $5^2-1=24$ 個で、$A$ と $A^2$（平方非剰余 2 を使う）の 2 つの類に等分されるので各 12 個。一致する。