群論の問題

シロー $p$-部分群の個数を $n_p$ と書く。

ステップ 1: シロー $3$-部分群は正規. シローの定理より $n_{13}\mid 27$ かつ $n_{13}\equiv 1(\mathrm{mod}13)$ なので $n_{13}\in \{1,27\}$（$3,9$ は $13$ を法として $1$ と合同でない）。仮定より $n_{13}=27$。相異なるシロー $13$-部分群（位数 $13$ の巡回群）は単位元以外を共有しないので、位数 $13$ の元はちょうど $27\cdot 12=324$ 個ある。残りの元は $351-324=27$ 個で、どのシロー $3$-部分群（位数 $27$）もこの $27$ 個の中に含まれるから、シロー $3$-部分群 $P$ はただ一つで $P⊴G$。シロー $13$-部分群 $Q=⟨y⟩$ をとると $P\cap Q=1$, $|PQ|=351$ より $G=P⋊Q$。$Q$ が $P$ に自明に作用すれば $G\cong P\times Q$ となり $Q$ は正規になるので、作用は非自明である。

ステップ 2: $P\cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^3$. 作用が非自明なので $13\mid |\mathrm{Aut}(P)|$ である。位数 $27$ の群は $\mathbb{Z}/27$, $\mathbb{Z}/9\times \mathbb{Z}/3$, $(\mathbb{Z}/3{)}^3$ と非可換な $2$ つ（指数 $3$ のハイゼンベルク群、指数 $9$ の群）であり、自己同型群の位数はそれぞれ $18$, $108$, $|G{L}_3({\mathbb{F}}_3)|=26\cdot 24\cdot 18=11232=2^5\cdot 3^3\cdot 13$, $432$, $54$。$13$ で割り切れるのは $(\mathbb{Z}/3{)}^3$ だけなので $P\cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}{)}^3$。とくに $P$ の単位元以外の元の位数はすべて $3$。

ステップ 3: 位数 $39$ の元はない. $y$ の $P$ への共役作用は ${\mathbb{F}}_3$-線形写像 $A\in G{L}_3({\mathbb{F}}_3)$ で、$A^{13}=I$, $A\ne I$。$A$ の最小多項式は $x^{13}-1=(x-1){\Phi }_{13}(x)$ を割る。$3$ の $13$ を法とする位数は $3$（$3^3=27\equiv 1$）なので、${\Phi }_{13}$ は ${\mathbb{F}}_3$ 上で $3$ 次の既約多項式 $4$ 個の積に分解する。$A$ の特性多項式（$3$ 次）が $1$ を根にもつとすると、$3$ 次の既約因子を含められないので最小多項式は $(x-1)$ のべきとなり $A$ はべき単、その位数は $3$ のべきになって $A^{13}=I$ と合わせて $A=I$ となり矛盾。よって $A$ は固有値 $1$ をもたず、$C_P(y)=1$。

いま位数 $39$ の元 $g$ があったとすると、$x=g^{13}$ は位数 $3$, $z=g^3$ は位数 $13$ で、$x$ と $z$ は可換である。$⟨z⟩$ はあるシロー $13$-部分群で、すべてのシロー $13$-部分群は共役なので、上と同じ議論により $C_P(z)=1$。ところが $x\in P$（$P$ は位数が $3$ のべきの元全体）かつ $x\in C_P(z)$, $x\ne e$ で矛盾。

ステップ 4: 結論. 元の位数は $351$ の約数 $1,3,9,13,27,39,117,351$ のいずれか。$P$ の元の位数は $1$ か $3$ で、位数 $9,27$ の元はない（位数が $3$ のべきの元は $P$ に含まれる）。位数 $39$ の元がないので、$39$ の倍数 $117,351$ の位数の元もない。位数 $13$ の元は $324$ 個存在する。

よって元の位数としてあらわれるのは $\{1,3,13\}$。（実際、$(\mathbb{Z}/3{)}^3$ に $G{L}_3({\mathbb{F}}_3)$ の位数 $13$ の元を作用させた半直積が条件を満たす群として存在する。）

シローの定理より、シロー 13-部分群の個数 $n_{13}$ は $n_{13}\equiv 1(\mathrm{mod}13)$ かつ $n_{13}\mid 27$。約数 $1,3,9,27$ のうち条件を満たすのは $1,27$。正規でないので $n_{13}=27$。

シロー 13-部分群は位数 13（素数）なので互いに交わりが自明で、位数 13 の元は $27\cdot 12=324$ 個。残りは $351-324=27$ 個の元。シロー 3-部分群 $P$（位数 27）の元は位数 13 の元ではないので、$P$ の 27 個の元は残りの 27 個とちょうど一致し、$P$ はただ 1 つ。よって $P⊴G$ で、$G=P⋊C_{13}$（$C_{13}$ は位数 13 の部分群）。

$C_{13}$ は共役で $P$ に自明でなく作用する（自明なら $G=P\times C_{13}$ となりシロー 13 が正規）。したがって $13\mid |\mathrm{Aut}(P)|$。位数 27 の群 $P$ について:
- $\mathbb{Z}/27$: $|\mathrm{Aut}|=18$
- $\mathbb{Z}/9\times \mathbb{Z}/3$: $|\mathrm{Aut}|=108$
- ハイゼンベルク群（指数 3）・指数 9 の非可換群: $|\mathrm{Aut}|=432$ および $54$（いずれも 13 で割れない）
- $(\mathbb{Z}/3{)}^3$: $|G{L}_3({\mathbb{F}}_3)|=26\cdot 24\cdot 18=11232=13\cdot 864$
13 で割れるのは $P\cong (\mathbb{Z}/3{)}^3$ のみ。

このとき $C_{13}=⟨c⟩$ は ${\mathbb{F}}_3^3$ に非自明に作用する。${\mathbb{F}}_3^3$ の不変部分空間の次元は、$c$ の位数 13 が $3^1-1=2,3^2-1=8$ を割らないので 1 次元・2 次元不変部分空間では作用が自明になり、既約でない場合も含め結局、非自明な作用では固定点は $0$ のみとなる（固定部分空間が非零なら、${\mathbb{F}}_3[C_{13}]$ の半単純性により 1 次元または 2 次元の部分に 13 が自明にしか作用できず、残りの商の次元 $\le 2$ で非自明作用は不可能）。よって $c$ の作用は固定点なし。

元の位数: $P$ の非単位元は位数 3。$P$ の外の元 $g$ は $G/P\cong C_{13}$ で像が位数 13 なので、$g$ の位数は 13 または 39。位数 39 だと $g^{13}\in P$ が位数 3 で、$g^3$ が位数 13 の元となり $g^{13}$ と可換、つまり位数 13 の元が $P$ の非単位元を固定することになり、固定点なしに矛盾。よって位数は 13。

個数の検算: $1+26+324=351$。

現れる位数は $\{1,3,13\}$。