群論の問題

手順 1: 位数を $p^{a}m$ の形に分ける。 $p=3$ とすると
$$48=3\cdot 16,3\nmid 16$$
なので $a=1$, $m=16$ である。シロー $3$ 部分群は位数 $3$ の部分群である。

手順 2: シローの定理の条件を書く。 シローの定理より、シロー $3$ 部分群の個数 $n_3$ は
$$n_3\mid 16,n_3\equiv 1(\mathrm{mod}3)$$
を満たす。

手順 3: 候補を絞る。 $16$ の正の約数は $1,2,4,8,16$ であり、それぞれを $3$ で割った余りは
$$1\equiv 1,2\equiv 2,4\equiv 1,8\equiv 2,16\equiv 1(\mathrm{mod}3).$$
よって $n_3\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ を満たすのは $1,4,16$ である。

したがって、求める正の整数は $1,4,16$ である。

$48=2^4\cdot 3$ なので、$n_3$ は $16$ の約数である。約数は $1,2,4,8,16$。それぞれ $3$ で割った余りは $1,2,1,2,1$。よって $n_3\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ を満たすのは $1,4,16$。
検算: $1=3\cdot 0+1$、$4=3\cdot 1+1$、$16=3\cdot 5+1$、$2=3\cdot 0+2$、$8=3\cdot 2+2$。