半直積と作用の準同型

$Aut (Z / n) ≅ (Z / n)^{\times}$ を使って準同型 $Z / m \to Aut (Z / n)$ の個数を求め、半直積 $Z / n ⋊_{φ} Z / m$ の積 $(a, b) (c, d) = (a + φ (b) (c), b + d)$ を計算して元の位数を求められる（例: $Z /7 ⋊ Z /3$ で第 2 成分が $0$ でない元はすべて位数 $3$ ）

前提

剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）

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算数中学高校大学大学院

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剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）

説明

巡回群 $Z / n$ を巡回群 $Z / m$ で「ねじって」組み合わせた群（半直積） $Z / n ⋊_{θ} Z / m$ を、作用を表す準同型 $θ : Z / m \to Aut (Z / n)$ から作り、その中で具体的に計算できるようになります。まず $Aut (Z / n)$ が単元群 $(Z / n)^{\times}$ と同じものだと見て、準同型 $θ$ の個数を数えます。次に積の規則 $(a, b) (c, d) = (a + θ (b) (c), b + d)$ で累乗を計算し、元の位数や位数ごとの元の個数を求めます。直積では作れない非可換群を具体的に扱う場面で使います。

なぜそうしてよいのか

記号を定めます。群 $N$ の自己同型とは $N$ から $N$ への全単射な準同型のことで、その全体を合成を積として群 $Aut (N)$ とします。 $N = Z / n$ のとき、準同型 $f : Z / n \to Z / n$ は $u = f (1)$ だけで $f (c) = u c$ と決まり、 $u$ は何でもかまいません。 $c \mapsto u c$ が全単射になるのは $u c \equiv 1$ となる $c$ があるとき、すなわち $u \in (Z / n)^{\times}$ のときです。さらに $c \mapsto u c$ と $c \mapsto v c$ の合成は $c \mapsto uv c$ なので、 $Aut (Z / n) ≅ (Z / n)^{\times}$ （位数はオイラー関数の値 $φ (n)$ ）です。準同型 $θ : Z / m \to (Z / n)^{\times}$ は $u = θ (1)$ で $θ (b) = u^{b}$ と決まり、 $b$ が $m$ の倍数ずれても値が同じであるためには $u^{m} \equiv 1 (mod n)$ が必要十分です。よって準同型の個数は「 $u^{m} \equiv 1$ を満たす $u \in (Z / n)^{\times}$ の個数」で、 $(Z / n)^{\times}$ を巡回群の直積に分ければ数えられます。

半直積は、 $N$ と $H$ を部分群として含み、 $H$ の元 $h$ による共役 $h x h^{- 1}$ が $N$ 上で $θ (h)$ として働くような群を、組 $(x, h)$ で書き下したものです。「 $x h \cdot y k = x (h y h^{- 1}) hk$ 」を加法の記号で書いたのが積の規則 $(a, b) (c, d) = (a + θ (b) (c), b + d)$ で、 $θ (b)$ が自己同型であり $θ$ が準同型であることから結合法則が成り立ち、単位元は $(0, 0)$ 、 $(a, b)^{- 1} = (- θ (- b) (a), - b)$ となります。 $θ$ が自明（ $u = 1$ ）なら普通の直積に戻ります。

$θ (b) (c) = u^{b} c$ のとき、積の規則を繰り返し使うと $(a, b)^{2} = (a + u^{b} a, 2 b)$ 、一般に
$(a, b)^{k} = (a (1 + u^{b} + u^{2 b} + \dots + u^{(k - 1) b}), k b)$
です（ $k$ についての帰納法で $(a, b)^{k + 1} = (a, b)^{k} (a, b)$ を計算すれば確かめられます）。 $(a, b)^{k} = (0, 0)$ には第 2 成分から $m ∣ k b$ が必要で、そのうえで第 1 成分の和が $0$ になるかを調べれば位数がわかります。

手順

$Aut (Z / n)$ を $(Z / n)^{\times}$ と見なし、準同型 $θ : Z / m \to (Z / n)^{\times}$ を $u = θ (1)$ で表す。条件は $u^{m} \equiv 1 (mod n)$ （ $u$ の位数が $m$ の約数）
準同型の個数を問われたら、 $(Z / n)^{\times}$ を巡回群の直積に分け、 $u^{m} = 1$ を満たす元を数える（位数 $k$ の巡回群なら $g cd (m, k)$ 個、直積なら各成分の積）
積の規則 $(a, b) (c, d) = (a + u^{b} c, b + d)$ を確認し、累乗を $(a, b)^{k} = (a \sum_{i = 0}^{k - 1} u^{ib}, k b)$ で計算する
第 2 成分から $k b \equiv 0 (mod m)$ となる最小の $k$ を求め、その $k$ （とその倍数）で第 1 成分が $0$ になるかを調べて位数を決める
第 2 成分 $b$ の値ごとに位数をまとめ、各位数の元の個数を数える。合計が $nm$ になることで検算する

例題

$(Z /5)^{\times}$ における $2$ の位数は $4$ なので、 $θ (b) (c) = 2^{b} c$ により準同型 $θ : Z /4 \to Aut (Z /5)$ が定まる。半直積 $G = Z /5 ⋊_{θ} Z /4$ （積は $(a, b) (c, d) = (a + 2^{b} c, b + d)$ ）において、位数 $4$ の元の個数を求めよ。

例題の解答

手順 1： $u = 2$ で、 $2^{4} = 16 \equiv 1 (mod 5)$ なので $θ$ は準同型として定まる。 $2^{0} = 1$ , $2^{1} = 2$ , $2^{2} \equiv 4$ , $2^{3} \equiv 3 (mod 5)$ 。

手順 3：累乗の公式 $(a, b)^{k} = (a \sum_{i = 0}^{k - 1} 2^{ib}, k b)$ を使う。

手順 4：第 2 成分 $b$ ごとに調べる。
- $b = 0$ ： $(a, 0)^{k} = (k a, 0)$ 。 $a = 0$ なら位数 1、 $a \neq = 0$ なら位数 5（4 個）。
- $b = 2$ ： $(a, 2)^{2} = (a (1 + 4), 4) = (5 a, 0) = (0, 0)$ 。第 2 成分は $0$ でないので位数は $2$ （5 個）。
- $b = 1$ ： $(a, 1)^{2} = (a (1 + 2), 2) \neq = (0, 0)$ （第 2 成分が $2$ ）、 $(a, 1)^{4} = (a (1 + 2 + 4 + 3), 0) = (10 a, 0) = (0, 0)$ 。第 2 成分から位数は $4$ の倍数で、 $4$ 乗が単位元なので位数 $4$ （5 個）。
- $b = 3$ ：同様に $(a, 3)^{2}$ の第 2 成分は $6 \equiv 2 \neq = 0$ 、 $(a, 3)^{4} = (a (1 + 3 + 4 + 2), 0) = (10 a, 0) = (0, 0)$ （ $2^{3 i}$ は $1, 3, 9 \equiv 4, 27 \equiv 2$ ）。位数 $4$ （5 個）。

手順 5：位数ごとに $1 + 4 + 5 + 10 = 20 = ∣ G ∣$ で検算できる。位数 $4$ の元は $b = 1, 3$ の $5 + 5 = 10$ 個。

答え： $10$ 個

答え: $10$

よくある誤り

準同型 $Z / m \to (Z / n)^{\times}$ の像 $u = θ (1)$ に「位数がちょうど $m$ 」を要求してしまう誤り。正しくは $u^{m} \equiv 1$ （位数が $m$ の約数）で、自明な $u = 1$ も含む。例えば $Z /3 \to (Z /7)^{\times}$ は $u = 1, 2, 4$ の 3 個で、2 個ではない
準同型の個数を $(Z / n)^{\times}$ がいつも巡回群であるかのように $g cd (m, φ (n))$ としてしまう誤り。正しくは巡回群の直積に分けて数える。例えば $(Z /8)^{\times} ≅ Z /2 \times Z /2$ なので $Z /2 \to Aut (Z /8)$ は $2 \cdot 2 = 4$ 個（ $g cd (2, 4) = 2$ ではない）
積で $a$ の側に作用を掛けて $(a, b) (c, d) = (θ (d) (a) + c, b + d)$ や、作用を忘れて $(a + c, b + d)$ としてしまう誤り。正しくは左の元の第 2 成分 $b$ で右の第 1 成分 $c$ をねじる $(a + u^{b} c, b + d)$
累乗を直積のように $(a, b)^{k} = (k a, k b)$ としてしまう誤り。正しくは $(a, b)^{k} = (a (1 + u^{b} + \dots + u^{(k - 1) b}), k b)$ 。例えば上の $G$ で $(1, 2)^{2} = (1 + 4 \cdot 1, 4) = (0, 0)$ であって $(2, 0)$ ではない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
半直積 $Z /13 ⋊_{ρ} Z /4$ をつくるための作用、すなわち群の準同型 $ρ : Z /4 \to Aut (Z /13)$ は全部で何個あるか。ここで $Z / n$ は加法群 $Z / n Z$ を表し、自明な準同型も 1 個として数える。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

シローの定理による小さい位数の群の分類（大学院数学群論）