シローの定理による小さい位数の群の分類

シロー部分群の正規性と半直積を組み合わせて、位数 $pq$ ・ $p^{2} q$ などの群の同型類の個数を求められる。位数 $pq$ （ $p < q$ は素数）の群は $p ∣ q - 1$ なら $2$ 個、そうでなければ巡回群の $1$ 個であること、すべてのシロー部分群が正規なら $G$ はそれらの直積になることを使える（例: 位数 $21$ は $2$ 個、位数 $45$ は $2$ 個）

前提

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算数中学高校大学大学院

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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
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自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
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分割数と分割の母関数（大学数学離散数学・組合せ論）
有限アーベル群の分類（単因子と素因子型）（大学院数学群論）

説明

群の位数 $∣ G ∣$ だけが与えられたとき、シローの定理でどのシロー部分群が正規になるかを決め、残りを半直積として組み立てることで、その位数の群の同型類をすべて数えられます。とくに位数 $pq$ （ $p < q$ は素数）の群は、 $p ∣ q - 1$ なら巡回群 $Z / pq$ と非可換な半直積 $Z / q ⋊ Z / p$ の $2$ 個、 $p ∤ q - 1$ なら巡回群の $1$ 個だけです。また、すべてのシロー部分群が正規なら $G$ はそれらの直積になるので、位数 $p^{2} q$ などでもアーベル群の分類に帰着できる場合があります。

なぜそうしてよいのか

鍵になるのは次の「半直積の見分け方」です。 $N$ が $G$ の正規部分群、 $H$ が部分群で、 $N \cap H = {e}$ かつ $∣ N ∣ ∣ H ∣ = ∣ G ∣$ とします。写像 $N \times H \to G, (n, h) \mapsto nh$ は、 $nh = n^{'} h^{'}$ なら $n^{' - 1} n = h^{'} h^{- 1} \in N \cap H = {e}$ なので単射で、個数が等しいので全単射です。さらに $(nh) (n^{'} h^{'}) = n (h n^{'} h^{- 1}) h h^{'}$ で、 $N$ が正規なので $h n^{'} h^{- 1} \in N$ です。よって $φ (h) (n) = hn h^{- 1}$ とおけば $φ : H \to Aut (N)$ は準同型で、 $G ≅ N ⋊_{φ} H$ となります。 $H$ も正規なら、 $x \in N, y \in H$ に対し $x y x^{- 1} y^{- 1}$ は $N$ にも $H$ にも入るので $e$ 、つまり $N$ と $H$ の元は可換で $φ$ は自明、 $G ≅ N \times H$ です。位数が互いに素な部分群の共通部分は（元の位数が両方の位数を割り切るので） ${e}$ だから、この議論をくり返すと「すべてのシロー部分群が正規なら $G$ はそれらの直積」がわかります。

位数 $pq$ （ $p < q$ ）では、 $n_{q} ∣ p$ かつ $n_{q} \equiv 1 (mod q)$ で、 $p < q + 1$ なので $n_{q} = 1$ 、つまり位数 $q$ の部分群 $Q ≅ Z / q$ は正規です。位数 $p$ の部分群 $P ≅ Z / p$ をとると $G ≅ Z / q ⋊_{φ} Z / p$ 、 $φ : Z / p \to Aut (Z / q) ≅ (Z / q)^{\times}$ です。 $(Z / q)^{\times}$ は位数 $q - 1$ の巡回群なので、準同型は $g cd (p, q - 1)$ 個あります。 $p ∤ q - 1$ なら自明なものだけで $G ≅ Z / q \times Z / p ≅ Z / pq$ 。 $p ∣ q - 1$ なら自明でないものが $p - 1$ 個ありますが、それらは 1 つの $φ$ を使って $φ_{k} (b) = φ (k b)$ （ $k = 1, \dots, p - 1$ ）と書け、 $(a, b) \mapsto (a, k b)$ が $Z / q ⋊_{φ_{k}} Z / p \to Z / q ⋊_{φ} Z / p$ の同型になります（ $P$ の生成元の取り方を変えただけ）。自明な $φ$ の群は可換、自明でない $φ$ の群は非可換なので両者は同型でなく、同型類はちょうど $2$ 個です。

一般に、 $φ$ を $H$ の自己同型 $α$ と合成した $φ \circ α$ や、 $N$ の自己同型で共役したものからは同型な半直積しか得られません。したがって準同型 $φ$ の個数そのものではなく、このような取りかえで移り合うものをまとめた組の数を数え、最後にそれらが本当に同型でないこと（可換かどうか、元の位数、中心の大きさなど）を確かめます。位数 $p^{2}$ の群は可換である（類等式から中心 $Z$ は ${e}$ でなく、 $∣ Z ∣ = p$ なら $G / Z$ が巡回群になり $G$ が可換になって矛盾するので $Z = G$ ）ことも、位数 $p^{2} q$ の分類でよく使います。

手順

$∣ G ∣$ を素因数分解し、各素数 $p$ について $n_{p} \equiv 1 (mod p)$ 、 $n_{p} ∣ m$ から $n_{p}$ の候補を挙げる。
すべての $n_{p}$ が $1$ なら $G$ はシロー部分群の直積。各シロー部分群が位数 $p$ か $p^{2}$ （可換）なら $G$ はアーベル群で、同型類の個数は $\prod_{p} p (e_{p})$ 。
正規なシロー部分群 $N$ と、位数が $∣ G ∣/∣ N ∣$ の部分群 $H$ （残りのシロー部分群など）をとり、 $G ≅ N ⋊_{φ} H$ と書く。
$H$ の各同型類について、準同型 $φ : H \to Aut (N)$ を列挙する。
$φ \circ α$ （ $α \in Aut (H)$ ）などで移り合う $φ$ を 1 つにまとめ、残ったものが互いに同型でないことを確かめて個数を数える。

例題

位数 $55$ の群の同型類の個数を求めよ。

例題の解答

手順 1: $55 = 5 \cdot 11$ 。 $n_{11} ∣ 5$ かつ $n_{11} \equiv 1 (mod 11)$ より、 $5$ の約数 $1, 5$ のうち $n_{11} = 1$ 。 $n_{5} ∣ 11$ かつ $n_{5} \equiv 1 (mod 5)$ より $n_{5} \in {1, 11}$ 。

手順 2: $n_{5}$ は $1$ に決まらないので、直積とは限らない。

手順 3: 位数 $11$ の部分群 $N ≅ Z /11$ は正規。位数 $5$ の部分群 $H ≅ Z /5$ をとると、 $N \cap H = {e}$ 、 $∣ N ∣∣ H ∣ = 55$ なので $G ≅ Z /11 ⋊_{φ} Z /5$ 。

手順 4: $Aut (Z /11) ≅ (Z /11)^{\times}$ は位数 $10$ の巡回群なので、 $φ : Z /5 \to (Z /11)^{\times}$ は $g cd (5, 10) = 5$ 個。自明なもの $1$ 個と、 $1$ を位数 $5$ の元 $3, 9, 5, 4$ （ $3^{5} = 243 \equiv 1 (mod 11)$ ）のどれかに送る $4$ 個。

手順 5: 自明でない $4$ 個は $φ_{k} (b) = φ_{1} (k b)$ （ $φ_{1} (1) = 3$ 、 $k = 1, 2, 3, 4$ ）と書け、 $Z /5$ の生成元の取りかえで互いに同型な群を与える。自明な $φ$ からは可換な $Z /11 \times Z /5 ≅ Z /55$ 、自明でない $φ$ からは非可換群が得られ、両者は同型でない。よって同型類は $2$ 個（ $5 ∣ 11 - 1$ なので位数 $pq$ の結果とも一致する）。

答え: $2$

よくある誤り

準同型 $φ$ の個数をそのまま同型類の個数としてしまう誤り。たとえば位数 $21$ で $∣ Hom (Z /3, (Z /7)^{\times}) ∣ = g cd (3, 6) = 3$ から $3$ 個とする。正しくは自明でない $2$ 個は $Z /3$ の生成元の取りかえで移り合い同じ群を与えるので、 $Z /21$ と $Z /7 ⋊ Z /3$ の $2$ 個。
正規になるシロー部分群を確かめずに半直積の向きを決めてしまう誤り。たとえば位数 $21$ で $Z /3$ を正規として $Z /3 ⋊ Z /7$ を考え、 $Hom (Z /7, (Z /3)^{\times})$ が自明だから巡回群だけ、とする。正しくは $n_{3} \in {1, 7}$ で $3$ 部分群は正規とは限らず、必ず正規なのは $n_{7} = 1$ の $Z /7$ なので $Z /7 ⋊_{φ} Z /3$ を考える。
すべてのシロー部分群が正規なら $G$ は可換だとしてしまう誤り。直積になることは正しいが、シロー部分群自身が非可換なら $G$ も非可換である。たとえば四元数群 $Q_{8}$ と $Z /3$ の直積 $Q_{8} \times Z /3$ （位数 $24$ ）はシロー部分群がすべて正規だが非可換。 $\prod_{p} p (e_{p})$ で数えてよいのは、各シロー部分群が可換だとわかっているとき（位数 $p$ や $p^{2}$ のときなど）だけ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
位数 $39$ の群の同型類の個数を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

シロー部分群を使った位数ごとの元の個数（大学院数学群論）