群論の問題

$273=3\cdot 7\cdot 13$ である。シロー $p$-部分群の個数を $n_p$ と書く。

1. 正規部分群 $N$ の存在. シローの定理より $n_{13}\mid 21$ かつ $n_{13}\equiv 1(\mathrm{mod}13)$。$21$ の約数 $1,3,7,21$ を $13$ で割った余りは $1,3,7,8$ なので $n_{13}=1$。同様に $n_7\mid 39$ かつ $n_7\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ で、$39$ の約数 $1,3,13,39$ を $7$ で割った余りは $1,3,6,4$ なので $n_7=1$。よってシロー $7$-部分群 $P_7$、シロー $13$-部分群 $P_{13}$ はともに正規で、$N=P_7{P}_{13}\cong \mathbb{Z}/7\times \mathbb{Z}/13\cong \mathbb{Z}/91$ は位数 $91$ の正規部分群である。シロー $3$-部分群 $P=⟨g⟩$（位数 $3$）をとると $P\cap N=1$, $G=NP$ で、$G=N⋊P$ となる。

2. 作用の分類. $g$ による共役は $P_7$, $P_{13}$ を保ち、それぞれに位数が $3$ の約数の自己同型を引き起こす。$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/7)\cong \mathbb{Z}/6$, $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/13)\cong \mathbb{Z}/12$ はどちらも位数 $3$ の元をもつので、$g$ の $P_7$, $P_{13}$ への作用がそれぞれ自明か非自明かで次の $4$ つの場合がある。各場合とも、対応する準同型 $P\to \mathrm{Aut}(N)$ による半直積として実際に群が存在する。
- (ア) 両方に自明
- (イ) $P_7$ にだけ非自明
- (ウ) $P_{13}$ にだけ非自明
- (エ) 両方に非自明

3. $n_3$ の計算. $N_G(P)=P(N_G(P)\cap N)$ である（$G=NP$ で $P\subset N_G(P)$ だから）。$n\in N$ が $P$ を正規化するとき、$x\in P$ に対して $nx{n}^{-1}{x}^{-1}$ は $P$ の元であり、$N$ が正規なので $N$ の元でもある。$P\cap N=1$ より $nx{n}^{-1}=x$。よって $N_G(P)\cap N=C_N(P)$ で、
$$n_3=[G:N_G(P)]=\frac{273}{3|C_N(P)|}=\frac{91}{|C_N(P)|}.$$
素数位数の巡回群上の非自明な自己同型は単位元以外の点を固定しないので、$C_N(P)$ は $P$ が自明に作用する成分の積になる。
- (ア) $C_N(P)=N$ で $n_3=1$
- (イ) $C_N(P)=P_{13}$ で $n_3=91/13=7$
- (ウ) $C_N(P)=P_7$ で $n_3=91/7=13$
- (エ) $C_N(P)=1$ で $n_3=91$

4. 位数 $3$ の元の個数. 位数 $3$ の元はちょうど $1$ つのシロー $3$-部分群（位数 $3$）に含まれ、各シロー $3$-部分群は位数 $3$ の元を $2$ 個含み、異なるシロー $3$-部分群の共通部分は単位群である。よって $a(G)=2n_3$ で、各場合に
$$a(G)=2,14,26,182.$$

したがって、ありうる値は $\{2,14,26,182\}$ である。

$273=3\cdot 7\cdot 13$。シローの定理より、$n_7\mid 39$ かつ $n_7\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ を満たすのは $n_7=1$（39 の約数 1,3,13,39 のうち 1 mod 7 は 1 のみ）。$n_{13}\mid 21$ かつ $n_{13}\equiv 1(\mathrm{mod}13)$ より $n_{13}=1$（21 の約数 1,3,7,21 のうち 1 mod 13 は 1 のみ）。よって $N=C_7\times C_{13}\cong C_{91}$ は正規で、$G\cong C_{91}⋊C_3$。作用は準同型 $C_3\to \mathrm{Aut}(C_7)\times \mathrm{Aut}(C_{13})=C_6\times C_{12}$ で決まり、各成分は自明か位数 3 のいずれか。

(i) 両方自明: $G\cong C_{273}$（巡回群）。位数 3 の元は $\phi (3)=2$ 個。

(ii) $C_7$ にだけ非自明: $G\cong C_{13}\times (C_7⋊C_3)$。位数 3 の元は第 2 因子（位数 21 の非可換群、シロー 3-部分群 7 個）の $7\cdot 2=14$ 個。

(iii) $C_{13}$ にだけ非自明: $G\cong C_7\times (C_{13}⋊C_3)$。シロー 3-部分群 13 個で $13\cdot 2=26$ 個。

(iv) 両方非自明: $C_3$ の生成元は $C_{91}$ の非単位元を動かすので $C_{91}$ 内に固定点なし。シロー 3-部分群の数は $|G|/|N_G(P)|=273/3=91$ 個（$N_G(P)=P\times C_N(P)=P$）。位数 3 の元は $91\cdot 2=182$ 個。

検算: 位数 3 の元は必ずいずれかのシロー 3-部分群に含まれ、異なるシロー 3-部分群は自明に交わるので、元の個数は $2n_3$。$n_3=1,7,13,91$ より $2,14,26,182$。

ありうる値は $\{2,14,26,182\}$。