群論の問題

$1225=5^2\cdot 7^2$ である。$G$ を位数 $1225$ の群とし、シロー $p$ 部分群の個数を $n_p$ とする。

シロー $7$ 部分群. $n_7\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ かつ $n_7\mid 25$。$25$ の約数は $1,5,25$ で、$5\equiv 5,25\equiv 4(\mathrm{mod}7)$ なので $n_7=1$。よってシロー $7$ 部分群 $Q$（位数 $49$）は正規。

シロー $5$ 部分群. $n_5\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ かつ $n_5\mid 49$。$49$ の約数は $1,7,49$ で、$7\equiv 2,49\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ なので $n_5=1$。よってシロー $5$ 部分群 $P$（位数 $25$）は正規。

直積分解. $P,Q$ はともに正規で、位数が互いに素なので $P\cap Q=\{e\}$。$|PQ|=|P||Q|=1225$ より $G=PQ$ であり、$P,Q$ の元どうしは可換（$[p,q]\in P\cap Q=\{e\}$）なので $G\cong P\times Q$。

位数 $p^2$ の群はアーベル群で、$\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ または $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ のいずれかに同型である。したがって
$$G\cong P\times Q,P\in \{\mathbb{Z}/25,(\mathbb{Z}/5{)}^2\},Q\in \{\mathbb{Z}/49,(\mathbb{Z}/7{)}^2\}.$$
これら $2\times 2=4$ 通りは、シロー部分群の同型類が異なるので互いに同型でなく、逆にどれも位数 $1225$ の群である。

よって同型類の個数は $4$。

$1225=5^2\cdot 7^2$。Sylow の定理より、Sylow 5 部分群の個数 $n_5$ は $49$ の約数で $n_5\equiv 1(\mathrm{mod}5)$。約数 $1,7,49$ のうち $7\equiv 2$、$49\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ なので $n_5=1$。同様に Sylow 7 部分群の個数 $n_7$ は $25$ の約数で $\equiv 1(\mathrm{mod}7)$。$5$、$25\equiv 4$ は不適で $n_7=1$。よって両方とも正規で、$G\cong P_5\times P_7$（位数が互いに素）。位数 $p^2$ の群は $\mathbb{Z}/p^2$ か $(\mathbb{Z}/p{)}^2$ の 2 種類なので、$2\times 2=4$ 個。