群論の問題

1. シロー $7$-部分群は正規である。 $G$ を位数 $147$ の群とし、シロー $7$-部分群の個数を $n_7$ とおく。シローの定理より $n_7\mid 3$ かつ $n_7\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ なので $n_7=1$ である。よって、ただ一つのシロー $7$-部分群 $P$（$|P|=49$）は正規部分群である。

2. 半直積への帰着。 シロー $3$-部分群 $Q\cong \mathbb{Z}/3$ をとると $P\cap Q=\{e\}$ であり、$|PQ|=147$ より $G=PQ$ となる。したがって $G\cong P{⋊}_{\phi }Q$（$\phi :Q\to \mathrm{Aut}(P)$）と書ける。$Q$ は素数位数の巡回群なので、$\phi$ の像は $\mathrm{Aut}(P)$ の自明な部分群か位数 $3$ の部分群である。$P$ を固定したとき、$P⋊Q$ の同型類は、$\phi (Q)$ の $\mathrm{Aut}(P)$ における共役類と一対一に対応する。

• 像が共役なら、生成元を取り替えて $\phi$ を ${\phi }^{\prime }=c_{\alpha }\circ \phi \circ \beta$ の形に直せる（$\alpha \in \mathrm{Aut}(P)$、$\beta \in \mathrm{Aut}(Q)$）。このとき半直積は同型になる。
• 逆に同型 $P{⋊}_{\phi }Q\cong P{⋊}_{{\phi }^{\prime }}Q$ があるとする。$P$ はただ一つのシロー $7$-部分群なので、同型は $P$ を $P$ に写す。さらにシロー $3$-部分群はすべて共役なので、$Q$ の像は $Q$ と共役である。ここから $\phi (Q)$ と ${\phi }^{\prime }(Q)$ が $\mathrm{Aut}(P)$ で共役であることが従う。

位数 $49$ の群はアーベル群で、$P\cong \mathbb{Z}/49$ または $P\cong (\mathbb{Z}/7{)}^2$ である。

3. $P\cong \mathbb{Z}/49$ の場合。 $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/49)\cong (\mathbb{Z}/49{)}^{\times }$ は位数 $\phi (49)=42$ の巡回群である。巡回群なので位数 $3$ の部分群はただ一つである。
- 自明な作用からは $\mathbb{Z}/49\times \mathbb{Z}/3\cong \mathbb{Z}/147$ が得られる。
- 非自明な作用からは非可換群が $1$ つ得られる。

よって $2$ 個である。

4. $P\cong (\mathbb{Z}/7{)}^2$ の場合。 $\mathrm{Aut}(P)=G{L}_2({\mathbb{F}}_7)$ である。$G{L}_2({\mathbb{F}}_7)$ の位数 $3$ の部分群の共役類を数える。

${\mathbb{F}}_7$ では $x^3-1=(x-1)(x-2)(x-4)$ と相異なる $1$ 次式の積に分解する。位数 $3$ の元 $A$ の最小多項式はこれを割るので、$A$ は ${\mathbb{F}}_7$ 上で対角化可能であり、固有値は $\{1,\omega ,{\omega }^2\}$（$\omega =2$）に属する。$A$ の共役類は固有値の組（順序は問わない）で決まる。$A\ne E$ なので、固有値の組は次の $5$ つである。
$$\{1,\omega \},\{1,{\omega }^2\},\{\omega ,\omega \},\{{\omega }^2,{\omega }^2\},\{\omega ,{\omega }^2\}$$
部分群 $⟨A⟩$ は $A$ と $A^2$ の両方を含む。$A\mapsto A^2$ で固有値の組は次のように移る。
$$\{1,\omega \}\leftrightarrow \{1,{\omega }^2\},\{\omega ,\omega \}\leftrightarrow \{{\omega }^2,{\omega }^2\},\{\omega ,{\omega }^2\}\mapsto \{{\omega }^2,\omega \}$$
したがって位数 $3$ の部分群の共役類は次の $3$ つである。
- $⟨\mathrm{diag}(1,\omega )⟩$
- $⟨\omega E⟩$
- $⟨\mathrm{diag}(\omega ,{\omega }^2)⟩$

これらは互いに共役でない。実際、$\omega E$ はスカラー行列なので共役類が $\{\omega E\}$ だけであり、また $\mathrm{diag}(1,\omega )$ だけが固有値 $1$ をもつ。

この場合に得られる群は次のとおりである。
- 自明な作用からは $(\mathbb{Z}/7{)}^2\times \mathbb{Z}/3$ が得られる。
- 非自明な作用からは非可換群が $3$ つ得られる。

よって $4$ 個である。

5. 合計。 $P$ の同型類が異なれば $G$ も同型でない（$P$ は $G$ のただ一つのシロー $7$-部分群だから）。したがって同型類の個数は
$$2+4=6$$
である。

$|G|=147=3\cdot 7^2$。シローの定理より、シロー7部分群 $P$ の個数 $n_7$ は $3$ の約数かつ $n_7\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ なので $n_7=1$。よって $P$ は正規で位数 $49$、$G=P⋊C_3$ となる。$P\cong C_{49}$ または $C_7\times C_7$。

(1) $P=C_{49}$ のとき、$\mathrm{Aut}(P)\cong C_{42}$ で、位数 $3$ の部分群はただ1つ。準同型 $C_3\to \mathrm{Aut}(P)$ は自明なものと非自明なものに分かれ、非自明なものは像が同じ部分群なので同型な群を与える。よって $C_{147}$ と $C_{49}⋊C_3$ の2個。

(2) $P=C_7^2$ のとき、$\mathrm{Aut}(P)=G{L}_2({\mathbb{F}}_7)$。$3\mid 7-1$ なので、位数 $3$ の元は ${\mathbb{F}}_7$ 上対角化可能で、$\omega$ を1の原始3乗根として $\mathrm{diag}(1,\omega )$、$\mathrm{diag}(\omega ,\omega )$、$\mathrm{diag}(\omega ,{\omega }^2)$ と共役である。位数 $3$ の部分群の共役類は、$⟨\mathrm{diag}(1,\omega )⟩$、$⟨\mathrm{diag}(\omega ,\omega )⟩$、$⟨\mathrm{diag}(\omega ,{\omega }^2)⟩$ の3つ。これに自明な作用を加えて、半直積は $4$ 個（$C_3\times C_7^2$ を含む）。

半直積 $P⋊C_3$ の同型類は、$\mathrm{Aut}(P)$ における像の部分群の共役類で決まる（$P$ が正規シロー部分群で、Schur–Zassenhaus により補群は共役）。

合計 $2+4=6$。これは位数147の群の個数が6であるという既知の値と一致する。