群論の問題

バーンサイドの補題より、軌道の個数は
$$\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|$$
である。$X^g$ は $g$ で固定される塗り方全体で、$c$ が $g$ で固定される $⟺$ $c$ が $g$（${\mathbb{F}}_7$ 上の置換）の各巡回の上で一定の色である。よって $g$ の巡回の個数（固定点も長さ $1$ の巡回として数える）を $\mathrm{cyc}(g)$ とすると $|X^g|=3^{\mathrm{cyc}(g)}$。

各元の巡回構造.
- 恒等写像 $f_{1,0}$: $7$ 個の固定点で $\mathrm{cyc}=7$、$|X^g|=3^7=2187$。
- 平行移動 $f_{1,b}$ ($b\ne 0$, $6$ 個): $x\mapsto x+b$ は $7$ 回でもとに戻り固定点がないので、長さ $7$ の巡回 $1$ 個。$|X^g|=3$。
- $a\ne 1$ のとき $f_{a,b}$ ($6\cdot 7-7=35$ 個のうち、各 $a$ について $7$ 個): $ax+b=x$ の解は $x_0=b/(1-a)$ のただ $1$ つ。$y=x-x_0$ とおくと $f_{a,b}$ は $y\mapsto ay$ と表され、$y\ne 0$ の軌道の長さは $a$ の乗法的位数 $d=\mathrm{ord}(a)$ に等しい。よって $\mathrm{cyc}=1+6/d$。

${\mathbb{F}}_7^{\times }$ の元の位数は、$a=6$ が位数 $2$、$a=2,4$ が位数 $3$、$a=3,5$ が位数 $6$ である。
- 位数 $2$（$a=6$、$7$ 個）: $\mathrm{cyc}=1+3=4$、$|X^g|=3^4=81$。
- 位数 $3$（$a=2,4$、$14$ 個）: $\mathrm{cyc}=1+2=3$、$|X^g|=27$。
- 位数 $6$（$a=3,5$、$14$ 個）: $\mathrm{cyc}=1+1=2$、$|X^g|=9$。

個数の確認: $1+6+7+14+14=42$。

合計.
$$\sum _{g\in G}|X^g|=2187+6\cdot 3+7\cdot 81+14\cdot 27+14\cdot 9=2187+18+567+378+126=3276.$$
したがって軌道の個数は
$$\frac{3276}{42}=78.$$

バーンサイドの補題より、軌道数 $=\frac{1}{|G|}{\sum }_{g\in G}|X^g|$。$g$ が ${\mathbb{F}}_7$ に作用して $k$ 個のサイクルに分かれるとき、$g$ で固定される塗り方は $3^k$ 個（各サイクルを単色に塗る）。

$G$ の元をサイクル型で分類する。
- 単位元（1 個）: 7 個の不動点、$k=7$、$3^7=2187$。
- 平行移動 $a=1,b\ne 0$（6 個）: 7-サイクル 1 つ、$k=1$、各 3。計 $18$。
- $a\ne 1$ の元は $x=b/(1-a)$ をただ 1 つの不動点にもち、残り 6 点は位数 $\mathrm{ord}(a)$ のサイクルに分かれる（各 $a$ に対し $b$ は 7 通り）。
- $\mathrm{ord}(a)=2$（$a=6$、7 個）: $k=1+3=4$、$3^4=81$。計 $567$。
- $\mathrm{ord}(a)=3$（$a=2,4$、14 個）: $k=1+2=3$、$27$。計 $378$。
- $\mathrm{ord}(a)=6$（$a=3,5$、14 個）: $k=1+1=2$、$9$。計 $126$。

個数の確認: $1+6+7+14+14=42$。
総和 $=2187+18+567+378+126=3276$。軌道数 $=3276/42=78$。

検算: $3276=42\cdot 78$ で割り切れ、整数になる。