群論の問題

正四面体の回転群 $G$ は位数 $12$ の群（$A_4$ と同型）であり、$G$ は $3$ 色すべてを使う辺の塗り方全体の集合 $X$ に作用する。求める数は軌道の個数なので、バーンサイドの補題
$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|$$
を用いる。ここで $X^g$ は $g$ で固定される塗り方の集合である。

$g$ が辺の集合に引き起こす置換が $c$ 個の巡回に分かれるとき、$g$ で固定される塗り方は各巡回の辺を同じ色で塗るものであり、$c$ 個の巡回から $3$ 色への全射の個数だけある。$c$ 元集合から $3$ 元集合への全射の個数は包除原理により $3^c-3\cdot 2^c+3$ である。

$G$ の元を分類する。

• 恒等変換（$1$ 個）：$6$ 本の辺はすべて固定され $c=6$。全射の個数は $3^6-3\cdot 2^6+3=729-192+3=540$。
• 頂点と対面の中心を通る軸のまわりの $120^{\circ },240^{\circ }$ 回転（$4\times 2=8$ 個）：その頂点から出る $3$ 辺が $1$ つの $3$-巡回、対面の $3$ 辺がもう $1$ つの $3$-巡回をなし $c=2$。$2$ 個の巡回では $3$ 色すべてを使えないので $0$。
• 向かい合う $2$ 辺の中点を通る軸のまわりの $180^{\circ }$ 回転（$3$ 個）：軸上の $2$ 辺はそれぞれ固定（向きは反転するが辺として固定）、残りの $4$ 辺は $2$ つの互換をなすので $c=4$。全射の個数は $3^4-3\cdot 2^4+3=81-48+3=36$。

元の個数は $1+8+3=12$ で $|G|$ に一致する。よって
$$|X/G|=\frac{540+8\cdot 0+3\cdot 36}{12}=\frac{648}{12}=54.$$

（検算：色の制限なしの軌道数は $\frac{3^6+8\cdot 3^2+3\cdot 3^4}{12}=87$。ちょうど $2$ 色を使うものは、色の組 $3$ 通りに対し $2$ 色塗りの軌道数 $\frac{2^6+8\cdot 2^2+3\cdot 2^4}{12}=12$ から単色の $2$ 通りを除いた $10$ 通りで計 $30$、単色は $3$ 通り。$87-30-3=54$ で一致する。）

答えは $54$ 通りである。

正四面体の回転群（位数 12）が 6 本の辺に働くものとして、バーンサイドの補題で数える。3 色すべてを使う塗り方のうち、各回転で動かないものの個数を求める。

辺への作用の巡回置換の型は次のとおり。
- 恒等変換（1 個）: 巡回の数は 6。
- 頂点と対面の中心を通る軸のまわりの $120^{\circ }$, $240^{\circ }$ 回転（8 個）: 辺は 3 辺ずつの巡回 2 個になるので、巡回の数は 2。
- 対辺の中点を通る軸のまわりの $180^{\circ }$ 回転（3 個）: 軸の通る 2 辺は固定され、残り 4 辺は 2 辺ずつの巡回 2 個になる。巡回の数は $2+2=4$。

巡回が $c$ 個の置換で動かない塗り方のうち、3 色すべてを使うものは、包除原理により $3^c-3\cdot 2^c+3$ 通りである。
- 恒等変換: $729-192+3=540$
- 位数 3 の回転: $9-12+3=0$
- 位数 2 の回転: $81-48+3=36$

合計は $540+8\cdot 0+3\cdot 36=648$ なので、$648/12=54$ 通りとなる。

検算: 3 色を自由に使ってよい場合の同値類は $(729+8\cdot 9+3\cdot 81)/12=87$ 個。ちょうど 2 色を使うものは、2 色だけで塗る場合 $(64+8\cdot 4+3\cdot 16)/12=12$ 個から単色 2 個を除いた 10 個を、色の組 3 通りにかけて 30 個。単色は 3 個。よって $87-30-3=54$ となり一致する。