群論の問題

生成元 $(4,6)$, $(2,8)$ を行に並べた整数行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 2& 8\end{array}\right)$$
を考える。$A$ に整数係数の行・列の基本変形（整数倍の加減・入れかえ・$-1$ 倍）を施しても、${\mathbb{Z}}^2/H$ の同型類は変わらない（行の変形は $H$ の生成元の取りかえ、列の変形は ${\mathbb{Z}}^2$ の基底の取りかえにあたる）。そこで $A$ をスミス標準形にする。

基本変形による計算

1 行目と 2 行目を入れかえる:
$$\left(\begin{array}{cc}2& 8\\ 4& 6\end{array}\right)$$
2 行目から 1 行目の $2$ 倍を引く:
$$\left(\begin{array}{cc}2& 8\\ 0& -10\end{array}\right)$$
2 列目から 1 列目の $4$ 倍を引く:
$$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -10\end{array}\right)$$
2 行目を $-1$ 倍する:
$$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 10\end{array}\right)$$
$2\mid 10$ なので、これがスミス標準形 $\mathrm{diag}(2,10)$ である。

小行列式による確認

1 次小行列式（成分）の最大公約数は ${\Delta }_1=\gcd (4,6,2,8)=2$。2 次小行列式は $\det A=4\cdot 8-6\cdot 2=20$ なので ${\Delta }_2=20$。よって $d_1={\Delta }_1=2$, $d_2={\Delta }_2/{\Delta }_1=10$ となり、上の結果と一致する。

したがって $G\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ であり、$(d_1,d_2)=(2,10)$ である。

関係行列 $A=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 2& 8\end{array}\right)$ のスミス標準形を求める。$d_1$ は成分全体の最大公約数、$d_1{d}_2=|\det A|$。
成分 $4,6,2,8$ の最大公約数は $2$ なので $d_1=2$。$\det A=4\cdot 8-6\cdot 2=20$ なので $d_2=20/2=10$。
基本変形でも確認する。第1行と第2行を入れ替えて $(2,8),(4,6)$。第2行から第1行の2倍を引くと $(0,-10)$。第2列から第1列の4倍を引くと $\mathrm{diag}(2,-10)$。よって $$\begin{gathered} G \\ cong\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/10 \end{gathered}$$。$|G|=20=|\det A|$ で整合し、$2\mid 10$ も満たす。