群論の問題

生成元を列（または行）に並べた整数行列
$$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 2& 8& 6\\ 0& 6& 6\end{array}\right)$$
の単因子を求める（$M$ は対称なので行・列のどちらで並べても同じ）。

単因子の計算. $k$ 次小行列式全体の最大公約数を ${\Delta }_k$ とすると、単因子 $d_1\mid d_2\mid d_3$ は $d_1={\Delta }_1,d_1{d}_2={\Delta }_2,d_1{d}_2{d}_3={\Delta }_3$ で定まる。
- 成分の最大公約数は ${\Delta }_1=2$。
- $2$ 次小行列式は、例えば $2\cdot 8-2\cdot 2=12$、$2\cdot 6-0\cdot 2=12$、$8\cdot 6-6\cdot 6=12$ などで、$9$ 個すべてが $12$ に等しいので ${\Delta }_2=12$。
- $\det M=2(8\cdot 6-6\cdot 6)-2(2\cdot 6-6\cdot 0)+0=24-24=0$ より ${\Delta }_3=0$。

よって $d_1=2,d_2=6,d_3=0$ であり、
$$G\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}.$$

準同型の個数. $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/\gcd (a,n)\mathbb{Z}$、$\mathrm{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ であり、$\mathrm{Hom}$ は直和と可換なので
$$|\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})|=\gcd (2,12)\cdot \gcd (6,12)\cdot 12=2\cdot 6\cdot 12=144.$$

生成元を行とする行列 $\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 2& 8& 6\\ 0& 6& 6\end{array}\right)$ のスミス標準形を求める。

• 成分の gcd: $d_1=2$。
• 行列式: $2(8\cdot 6-6\cdot 6)-2(2\cdot 6-6\cdot 0)+0=24-24=0$。階数は 2 以下。
• 2 次小行列式は全て $\pm 12$（例: $2\cdot 8-2\cdot 2=12$, $2\cdot 6-0\cdot 2=12$, $8\cdot 6-6\cdot 6=12$）。gcd は 12 なので $d_1{d}_2=12$, $d_2=6$。

よって $G\cong \mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/6\oplus \mathbb{Z}$。

$\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Z}/12)=\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/12)\times \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}/6,\mathbb{Z}/12)\times \mathrm{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}/12)$ の位数は $\gcd (2,12)\cdot \gcd (6,12)\cdot 12=2\cdot 6\cdot 12=144$。