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群論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学群論

アーベル群 $G$ を、生成元 $x, y, z$ と関係式
$2 x = 0, 22 x + 6 y = 0, 14 x + 24 y + 12 z = 0$
で定まる群とする（加法的に書く）。すなわち $G = Z^{3} / N$ であり、 $N$ は $(2, 0, 0)$ , $(22, 6, 0)$ , $(14, 24, 12)$ で生成される $Z^{3}$ の部分群である。 $G$ の元のうち、位数がちょうど $12$ であるものの個数を求めよ。

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ヒント

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ヒント 1

関係行列の単因子（スミス標準形）を求めて $G$ を巡回群の直和に分解し、そのうえで位数 $12$ の元を数える。

ヒント 2

単因子は小行列式の最大公約数 $Δ_{k}$ から $d_{1} = Δ_{1}$ , $d_{1} d_{2} = Δ_{2}$ , $d_{1} d_{2} d_{3} = ∣ det A ∣$ で求まる。また位数を数えるには $2$ -部分と $3$ -部分に分けるとよい。

ヒント 3

$G ≅ Z /2 \oplus Z /6 \oplus Z /12 ≅ (Z /2 \oplus Z /2 \oplus Z /4) \oplus (Z /3 \oplus Z /3)$ となる。位数 $12$ の元は、 $2$ -部分の位数が $4$ 、 $3$ -部分の位数が $3$ のものである。

答えと解説

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64

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解説を読む

関係行列
$A = 2221406240012$
の単因子 $d_{1} ∣ d_{2} ∣ d_{3}$ を求める。 $k$ 次小行列式の最大公約数を $Δ_{k}$ とすると $d_{1} = Δ_{1}$ , $d_{1} d_{2} = Δ_{2}$ , $d_{1} d_{2} d_{3} = Δ_{3}$ である。

$Δ_{1}$ : 成分 $2, 22, 6, 14, 24, 12$ の最大公約数は $2$ 。よって $d_{1} = 2$ 。
$Δ_{2}$ : 2 次小行列式は、第 1, 2 行から $12, 0, 0$ 、第 1, 3 行から $48, 24, 0$ 、第 2, 3 行から $22 \cdot 24 - 6 \cdot 14 = 444$ , $22 \cdot 12 = 264$ , $6 \cdot 12 = 72$ 。これらの最大公約数は $12$ 。よって $d_{2} = 12/2 = 6$ 。
$Δ_{3} = ∣ det A ∣ = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ 。よって $d_{3} = 144/12 = 12$ 。

したがって
$G ≅ Z /2 \oplus Z /6 \oplus Z /12$
で $∣ G ∣ = 144$ 。中国剰余定理で素因数ごとに分けると
$G ≅ G_{2} Z /2 \oplus Z /2 \oplus Z /4 \oplus G_{3} Z /3 \oplus Z /3 .$
元 $g = (g_{2}, g_{3})$ の位数は $g_{2}$ の位数と $g_{3}$ の位数の積であり、位数が $12 = 4 \cdot 3$ となるのは $g_{2}$ の位数が $4$ 、 $g_{3}$ の位数が $3$ のときに限る（ $G_{2}$ の元の位数は $4$ 以下、 $G_{3}$ の元の位数は $3$ 以下）。

$G_{2}$ で $2 g_{2} = 0$ となる元は $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ 個なので、位数 $4$ の元は $16 - 8 = 8$ 個。
$G_{3}$ で位数 $3$ の元は単位元以外の $9 - 1 = 8$ 個。

よって求める個数は $8 \times 8 = 64$ 。

（検算: $∣ G [n] ∣ = \prod_{i} g cd (n, d_{i})$ を用いると、位数 $12$ の元の個数は包除原理により $∣ G [12] ∣ - ∣ G [6] ∣ - ∣ G [4] ∣ + ∣ G [2] ∣ = 144 - 72 - 16 + 8 = 64$ となり一致する。）

答え: $64$

別解

関係行列 $A = 2221406240012$ のスミス標準形を求める。 $d_{1} = g cd (成分) = 2$ 。2 次小行列式は $12, 0, 0, 48, 24, 0, 444, 264, 72$ で、その gcd は $12$ （ $444 = 12 \cdot 37$ ）なので $d_{1} d_{2} = 12$ より $d_{2} = 6$ 。 $det A = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ より $d_{1} d_{2} d_{3} = 144$ で $d_{3} = 12$ 。よって $G ≅ Z /2 \oplus Z /6 \oplus Z /12 ≅ (Z /2 \oplus Z /2 \oplus Z /4) \oplus (Z /3 \oplus Z /3)$ （位数 144）。
位数がちょうど 12 の元は、2-部分が位数ちょうど 4、3-部分が位数ちょうど 3 の元。2-部分 $P = Z /2 \oplus Z /2 \oplus Z /4$ は位数 16、 $2 P$ の元（ $2$ 倍で $0$ となる元）は $2^{3} = 8$ 個なので位数 4 の元は $16 - 8 = 8$ 個。3-部分は $F_{3}^{2}$ で位数 3 の元は $9 - 1 = 8$ 個。よって $8 \times 8 = 64$ 個。
検算: 位数が 12 を割る元は $8 \cdot 9$ ではなく、2-部分すべて 16 と 3-部分すべて 9 から 144 全元が位数 12 の約数を持つ。ここから位数 $∣ 6$ （ $2$ -部分 8 個、 $3$ -部分 9 個）の元 72 個、位数 $∣ 4$ の元 16 個... 直接の積の議論で 64 と確定。

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