群論の問題

$A$ を有限生成アーベル群（演算は加法で書く）とし、正の整数 $n$ に対して $nA=\{na\mid a\in A\}$ とおく。すべての素数 $p$ に対して剰余群 $A/pA$ が巡回群であると仮定する。このとき $A$ は巡回群であることを証明せよ。ただし、自明群 $\{0\}$ も巡回群とみなす。

なお、有限生成アーベル群の基本定理（単因子形）: 「任意の有限生成アーベル群 $A$ に対し、整数 $r\ge 0$, $k\ge 0$ と $1<d_1\mid d_2\mid \cdots \mid d_k$ を満たす整数 $d_1,\dots ,d_k$ が存在して $A\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}$ となる」は用いてよい。

$q$ を奇素数の冪とし、${\mathbb{F}}_q$ を位数 $q$ の有限体とする。$S{L}_2({\mathbb{F}}_q)=\{A\in M_2({\mathbb{F}}_q)\mid \det A=1\}$ とおき、$I$ を $2$ 次の単位行列とする。このとき、$S{L}_2({\mathbb{F}}_q)$ の位数 $2$ の元はちょうど $1$ 個であり、それは $-I$ であることを証明せよ。体上の線形代数の基本事項（最小多項式、最小多項式が相異なる $1$ 次式の積に分解するとき行列が対角化可能であること）は用いてよい。

位数 $144$ の群は単純群でないこと、すなわち位数 $144$ の任意の群 $G$ は $\{e\}$ と $G$ 以外の正規部分群をもつことを証明せよ。ただし、ここで単純群とは、単位群でなく、正規部分群が自明なもの（$\{e\}$ と自分自身）しかない群のこととする。シローの定理（シロー部分群の存在・共役性、およびシロー $p$ 部分群の個数 $n_p$ が $n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ かつ $n_p$ が $|G|$ を割り切ること）、ラグランジュの定理、位数 $p^2$（$p$ は素数）の群が可換であることは用いてよい。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G=G{L}_3({\mathbb{F}}_3)$ を ${\mathbb{F}}_3$ の元を成分とする $3$ 次正則行列全体が行列の積についてなす群とする。$G$ の元のうち、位数がちょうど $2$ であるもの（すなわち $A^2=I$ かつ $A\ne I$ を満たす $A\in G$）の個数を求めよ。

有限群 $G$ が有限集合 $X$ に（左から）推移的に作用しているとし、$n=|X|\ge 2$ とする。$g\in G$ に対し $\mathrm{Fix}(g)=\{x\in X\mid gx=x\}$ とおき、不動点をもたない元全体を $D=\{g\in G\mid \mathrm{Fix}(g)=\varnothing \}$ とする。このとき
$$\frac{|D|}{|G|}\ge \frac{1}{n}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、バーンサイドの補題「有限群 $H$ が有限集合 $Y$ に作用するとき、軌道の個数は $\frac{1}{|H|}\sum _{h\in H}|\{y\in Y\mid hy=y\}|$ に等しい」は用いてよい。