群論の問題

位数 $144$ の群は単純群でないこと、すなわち位数 $144$ の任意の群 $G$ は $\{e\}$ と $G$ 以外の正規部分群をもつことを証明せよ。ただし、ここで単純群とは、単位群でなく、正規部分群が自明なもの（$\{e\}$ と自分自身）しかない群のこととする。シローの定理（シロー部分群の存在・共役性、およびシロー $p$ 部分群の個数 $n_p$ が $n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ かつ $n_p$ が $|G|$ を割り切ること）、ラグランジュの定理、位数 $p^2$（$p$ は素数）の群が可換であることは用いてよい。

有限群 $G$（単位元を $e$ とする）が、元の個数 $k$（$k$ は正の整数）の集合 $X$ に左から推移的に作用しているとする。すなわち、任意の $x,y\in X$ に対して $g\cdot x=y$ となる $g\in G$ が存在する。$g\in G$ が固定点をもたないとは、$g\cdot x=x$ を満たす $x\in X$ が存在しないことをいう。

各 $x\in X$ の固定部分群 $G_x=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$ が $G$ の部分群であること、および軌道・固定部分群定理（$x\in X$ の軌道 $G\cdot x$ について $|G\cdot x|=[G:G_x]$）とラグランジュの定理は用いてよい。

このとき、固定点をもたない $G$ の元は少なくとも $k-1$ 個あることを証明せよ。

成分がすべて $0$ または $1$ である $3\times 3$ 行列全体の集合を $X$ とする（$|X|=2^9$）。$A,B\in X$ について、$A$ に「行の並べ替え」「列の並べ替え」「転置」の操作を有限回（$0$ 回も含む）くり返して $B$ が得られるとき、$A$ と $B$ は同値であるという。この同値関係による $X$ の同値類の個数を求めよ。

$G$ を位数 $273$ の有限群とする。$G$ の元のうち位数がちょうど $3$ であるものの個数を $a(G)$ とおく。$G$ が位数 $273$ のすべての群を動くとき、$a(G)$ としてありうる値をすべて求めよ。

$A$ を有限生成アーベル群（演算は加法で書く）とし、正の整数 $n$ に対して $nA=\{na\mid a\in A\}$ とおく。すべての素数 $p$ に対して剰余群 $A/pA$ が巡回群であると仮定する。このとき $A$ は巡回群であることを証明せよ。ただし、自明群 $\{0\}$ も巡回群とみなす。

なお、有限生成アーベル群の基本定理（単因子形）: 「任意の有限生成アーベル群 $A$ に対し、整数 $r\ge 0$, $k\ge 0$ と $1<d_1\mid d_2\mid \cdots \mid d_k$ を満たす整数 $d_1,\dots ,d_k$ が存在して $A\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}$ となる」は用いてよい。