群論の問題

${\mathbb{F}}_7$ を位数 $7$ の有限体とし、$G=G{L}_2({\mathbb{F}}_7)$ を ${\mathbb{F}}_7$ の元を成分とする $2\times 2$ 正則行列全体が行列の積についてなす群とする。$G$ の元のうち、位数がちょうど $3$ であるものの個数を求めよ。

${\mathbb{F}}_3$ を位数 $3$ の有限体とし、$G=G{L}_3({\mathbb{F}}_3)$ を ${\mathbb{F}}_3$ の元を成分とする $3$ 次正則行列全体が行列の積についてなす群とする。$G$ の元のうち、位数がちょうど $2$ であるもの（すなわち $A^2=I$ かつ $A\ne I$ を満たす $A\in G$）の個数を求めよ。

$A$ を有限生成アーベル群（演算は加法で書く）とし、正の整数 $n$ に対して $nA=\{na\mid a\in A\}$ とおく。すべての素数 $p$ に対して剰余群 $A/pA$ が巡回群であると仮定する。このとき $A$ は巡回群であることを証明せよ。ただし、自明群 $\{0\}$ も巡回群とみなす。

なお、有限生成アーベル群の基本定理（単因子形）: 「任意の有限生成アーベル群 $A$ に対し、整数 $r\ge 0$, $k\ge 0$ と $1<d_1\mid d_2\mid \cdots \mid d_k$ を満たす整数 $d_1,\dots ,d_k$ が存在して $A\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}$ となる」は用いてよい。

有限群 $G$（単位元を $e$ とする）が、元の個数 $k$（$k$ は正の整数）の集合 $X$ に左から推移的に作用しているとする。すなわち、任意の $x,y\in X$ に対して $g\cdot x=y$ となる $g\in G$ が存在する。$g\in G$ が固定点をもたないとは、$g\cdot x=x$ を満たす $x\in X$ が存在しないことをいう。

各 $x\in X$ の固定部分群 $G_x=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}$ が $G$ の部分群であること、および軌道・固定部分群定理（$x\in X$ の軌道 $G\cdot x$ について $|G\cdot x|=[G:G_x]$）とラグランジュの定理は用いてよい。

このとき、固定点をもたない $G$ の元は少なくとも $k-1$ 個あることを証明せよ。

${\mathbb{F}}_5$ を $5$ 元からなる有限体とし、$G{L}_2({\mathbb{F}}_5)$ を ${\mathbb{F}}_5$ の元を成分とする $2$ 次正則行列全体が行列の積についてなす群とする。$G{L}_2({\mathbb{F}}_5)$ の元のうち、位数がちょうど $4$ であるものの個数を求めよ。