群論の問題

手順 1：巡回型を読む。 $\sigma =(12)(34)(567)$ は長さ $2$ の巡回が $2$ 個、長さ $3$ の巡回が $1$ 個で、固定点はない。よって巡回型は $2^2{3}^1$、すなわち $m_2=2,m_3=1$（ほかの $m_k=0$）。

手順 2：中心化群の位数の公式を使う。 $S_n$ で巡回型 $1^{m_1}{2}^{m_2}\cdots$ の置換の中心化群の位数は ${\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!$ である。これは、$\sigma$ と可換な置換が「同じ長さの巡回どうしを入れかえ（$m_k!$ 通り）、各巡回をその中で回す（各 $k$ 通り）」ものに限られることから来る。よって
$$|C_{S_7}(\sigma )|=2^2\cdot 2!\cdot 3^1\cdot 1!=4\cdot 2\cdot 3=24.$$

検算（軌道・固定部分群の公式）。 共役類の大きさは $|S_7|/|C_{S_7}(\sigma )|=5040/24=210$ のはずである。直接数えると、3-サイクルに使う 3 文字の選び方が ${}_7{\mathrm{C}}_3=35$ 通り、その 3-サイクルが $2$ 通り、残り 4 文字を 2 つの互換に分ける方法が $3$ 通りで、$35\cdot 2\cdot 3=210$。一致する。

実際、$C_{S_7}(\sigma )$ は $(12)$, $(34)$, $(13)(24)$ で生成される位数 $8$ の群と $⟨(567)⟩$（位数 $3$）の直積で、位数は $8\cdot 3=24$ である。

$\sigma$ の巡回型は $3+2+2+0\cdot 1$（長さ 3 の巡回が 1 個、長さ 2 の巡回が 2 個、不動点なし。$3+2+2=7$）。型 $1^{m_1}{2}^{m_2}{3}^{m_3}\cdots$ の置換の中心化群の位数は ${\prod }_k{k}^{m_k}{m}_k!$ である。ここで $m_2=2$、$m_3=1$、他は $0$ なので\n$$|C_{S_7}(\sigma )|=(2^2\cdot 2!)\cdot (3^1\cdot 1!)=8\cdot 3=24.$$\n\n検算（共役類の大きさ）: $\sigma$ の共役類の大きさは、7 個の点を $3,2,2$ に分ける方法 $\frac{7!}{3\cdot 2^2\cdot 2!}=\frac{5040}{24}=210$。軌道固定部分群定理より $|C|=|S_7|/210=5040/210=24$。一致する。\n\n構造としては $C_{S_7}(\sigma )\cong \mathbb{Z}/3\times (\mathbb{Z}/2\wr S_2)$ で位数 $3\cdot 8=24$。