群論の問題

共役作用について、$g$ の軌道は $g$ の共役類 $\mathrm{Cl}(g)$、$g$ の固定部分群は中心化群 $C_{S_5}(g)$ である。軌道・固定部分群の公式から
$$|\mathrm{Cl}(g)|=[S_5:C_{S_5}(g)]=\frac{|S_5|}{|C_{S_5}(g)|}$$
が成り立つ。

$S_5$ では、共役であることと巡回型が等しいことが同値なので、$\mathrm{Cl}(g)$ は巡回型 $1^2{3}^1$（3-サイクル）の置換全体である。その個数は
$$\frac{5!}{1^2\cdot 2!\cdot 3^1\cdot 1!}=\frac{120}{6}=20$$
（直接数えても、3 文字の選び方 ${}_5{\mathrm{C}}_3=10$ 通りに対して 3-サイクルが $2$ 通りずつで $20$ 個）。

したがって
$$|C_{S_5}(g)|=\frac{|S_5|}{|\mathrm{Cl}(g)|}=\frac{120}{20}=6.$$

（確認：$⟨(123)⟩\times ⟨(45)⟩$ の $6$ 個の元はすべて $g$ と可換であり、ちょうどこれが中心化群になっている。）

$S_5$ の共役類のうち 3 次巡回置換の類を考える。3 次巡回置換の個数は、3 元の選び方 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=10$ 通りに、各 3 元について巡回置換が 2 つずつあるので $10\times 2=20$ 個。これらはすべて互いに共役で、1 つの共役類をなす。軌道・固定部分群の関係（軌道固定部分群定理）より $|C_{S_5}(g)|=|S_5|/|\text{共役類}|=120/20=6$。\n\n検算（直接）: $h$ が $g=(123)$ と可換であることは、$h$ が $g$ の台 $\{1,2,3\}$ を保ち（$hg{h}^{-1}=(h(1)h(2)h(3))=g$ より）、かつ $(h(1)h(2)h(3))=(123)$ となることと同値。前者より $\{h(1),h(2),h(3)\}=\{1,2,3\}$、後者より $h$ の $\{1,2,3\}$ への制限は $g$ のべき（$3$ 通り）。残りの $\{4,5\}$ 上の置換は $2$ 通り。よって $|C_{S_5}(g)|=3\times 2=6$（$C_{S_5}(g)=⟨(123)⟩\times ⟨(45)⟩\cong C_6$）。両方の方法で一致する。