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代数的位相幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学代数的位相幾何

$3$ 次元トーラスを $T^{3} = R^{3} / Z^{3}$ とし、 $x \in R^{3}$ の像を $[x]$ と書く。 $S^{1} = R / Z$ から $T^{3}$ への $2$ つの閉曲線
$γ_{1} (t) = [(2 t, 4 t, 6 t)], γ_{2} (t) = [(4 t, 2 t, 0)] (t \in R / Z)$
を考える。 $2$ 次元円板 $D^{2}$ を $2$ 枚用意し、その境界 $\partial D^{2} ≅ S^{1}$ をそれぞれ $γ_{1}, γ_{2}$ によって $T^{3}$ に貼り付けて得られる空間を $X$ とする。 $X$ の整数係数ホモロジー群について、 $1$ 次ベッチ数 $b_{1} (X)$ 、 $2$ 次ベッチ数 $b_{2} (X)$ 、および $H_{1} (X; Z)$ のねじれ部分の位数を、この順に組で求めよ。

この問題で使うもの

CW 複体の胞体ホモロジー（説明と入口の問題）
整数行列の単因子（スミス標準形）（説明と入口の問題）
普遍係数定理とキュネットの公式（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

円板を貼り付けた効果は、対 $(X, T^{3})$ のホモロジー長完全系列で調べられる。 $X / T^{3}$ が何になるかを考えよう。

ヒント 2

連結準同型 $H_{2} (X, T^{3}) ≅ Z^{2} \to H_{1} (T^{3}) ≅ Z^{3}$ は各円板を境界の類 $[γ_{i}]$ に写す。 $[γ_{1}] = (2, 4, 6)$ , $[γ_{2}] = (4, 2, 0)$ であり、 $H_{1} (X)$ はこの写像の余核になる。

ヒント 3

$\partial$ は単射なので $H_{2} (X) ≅ H_{2} (T^{3})$ 。 $H_{1} (X) ≅ Z^{3} / ⟨(2, 4, 6), (4, 2, 0)⟩$ の構造は、行列 $(244260)$ のスミス標準形（成分の最大公約数と $2$ 次小行列式の最大公約数）から読み取れる。

答えと解説

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(1, 3, 12)

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解説を読む

$H_{1} (T^{3}; Z) ≅ Z^{3}$ を、 $R^{3}$ の標準基底方向の閉曲線 $t \mapsto [t e_{i}]$ の類 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ を基底として同一視する。閉曲線 $t \mapsto [t v]$ （ $v \in Z^{3}$ ）の類は $v$ に対応するので、
$[γ_{1}] = v_{1} = (2, 4, 6), [γ_{2}] = v_{2} = (4, 2, 0)$
である。また $H_{n} (T^{3}) ≅ Z, Z^{3}, Z^{3}, Z$ $(n = 0, 1, 2, 3)$ である。

対の完全系列. $X / T^{3}$ は $2$ つの $2$ 次元球面の一点和なので、 $H_{2} (X, T^{3}) ≅ Z^{2}$ （各円板が生成元）、 $n \neq = 2$ では $H_{n} (X, T^{3}) = 0$ $(n \geq 1)$ 。対 $(X, T^{3})$ の長完全系列から
$0 = H_{3} (X, T^{3}) \to H_{2} (T^{3}) \to H_{2} (X) \to H_{2} (X, T^{3}) \partial H_{1} (T^{3}) \to H_{1} (X) \to H_{1} (X, T^{3}) = 0$
を得る。連結準同型 $\partial$ は各円板の生成元をその境界の類 $[γ_{i}] = v_{i}$ に写す。したがって $\partial : Z^{2} \to Z^{3}$ は行列
$M = (244260)$
（行が $v_{1}, v_{2}$ ）で与えられる。

$H_{2}$ . $v_{1}, v_{2}$ は $Q$ 上一次独立なので $\partial$ は単射。よって $H_{2} (T^{3}) \to H_{2} (X)$ は同型で $H_{2} (X) ≅ Z^{3}$ 、 $b_{2} (X) = 3$ 。

$H_{1}$ . $H_{1} (X) ≅ Z^{3} / ⟨ v_{1}, v_{2} ⟩$ である。 $M$ のスミス標準形を求める。列基本変形 $c_{2} \to c_{2} - 2 c_{1}$ , $c_{3} \to c_{3} - 3 c_{1}$ により
$(24 0 - 6 0 - 12),$
行基本変形 $r_{2} \to r_{2} - 2 r_{1}$ により $(20 0 - 6 0 - 12)$ 、さらに $c_{3} \to c_{3} - 2 c_{2}$ により $(20 0 - 6 00)$ 。（検算：成分の最大公約数は $2$ 、 $2$ 次小行列式は $- 12, - 24, - 12$ でその最大公約数は $12 = 2 \cdot 6$ 。）
よって
$H_{1} (X; Z) ≅ Z /2 \oplus Z /6 \oplus Z$
となり、 $b_{1} (X) = 1$ 、ねじれ部分の位数は $2 \cdot 6 = 12$ 。

以上より答えは $(1, 3, 12)$ 。

別解

$T^{3}$ の標準的なセル構造（0胞体1個、1胞体3個、2胞体3個、3胞体1個）に、2胞体 $e_{1}, e_{2}$ を $γ_{1}, γ_{2}$ に沿って貼り付ける。 $γ_{1}, γ_{2}$ は $1$ 次元骨格上のループとしてセル的に表せるとしてよい。

$H_{1} (T^{3}) = Z^{3}$ において $[γ_{1}] = (2, 4, 6)$ 、 $[γ_{2}] = (4, 2, 0)$ である。

$H_{1} (X) = Z^{3} / ⟨(2, 4, 6), (4, 2, 0)⟩$ を求める。行列 $(244260)$ のスミス標準形を調べる。
- 成分の gcd は $2$ なので $d_{1} = 2$ 。
- $2 \times 2$ 小行列式は $- 12, - 24, - 12$ で、gcd は $12$ なので $d_{1} d_{2} = 12$ 、よって $d_{2} = 6$ 。

したがって $H_{1} (X) ≅ Z \oplus Z /2 \oplus Z /6$ となり、 $b_{1} = 1$ 、ねじれ部分の位数は $2 \cdot 6 = 12$ である。

$H_{2}$ について。セル鎖複体で $C_{2} = Z^{3} \oplus Z^{2}$ である。トーラスの $2$ 胞体の境界は $0$ なので、 $\partial_{2}$ はトーラスの $2$ 胞体上で $0$ 、新しい $2$ 胞体上では階数 $2$ の行列 $(244260)$ の転置で与えられ、これは単射である。よって $ker \partial_{2} = Z^{3}$ 。

$3$ 胞体の境界は $T^{3}$ の $2$ 骨格内で $0$ なので $\partial_{3} = 0$ である。ゆえに $H_{2} (X) = Z^{3}$ 、 $b_{2} = 3$ 。

検算として、オイラー標数は $χ (T^{3}) + 2 = 2$ である。一方 $b_{0} - b_{1} + b_{2} - b_{3} = 1 - 1 + 3 - 1 = 2$ で一致する。

答えは $(1, 3, 12)$ 。

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