代数的位相幾何の問題

$8$ 角形の辺に、境界を一周する向きに沿って順に
$$abac{b}^{-1}dcd$$
とラベルを付け、同じ文字の辺どうしを矢印の向き（指数 $-1$ は逆向き）が一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $X$ とする。$X$ は $k$ 個の実射影平面の連結和 $\underset{k}{\underbrace{\mathbb{R}{P}^2\#\cdots \#\mathbb{R}{P}^2}}$ と同相である。$k$ を求めよ。

$T^2$ をトーラス、${\mathbb{RP}}^2$ を実射影平面とし、連結和
$$M=T^2\#T^2\#{\mathbb{RP}}^2\#{\mathbb{RP}}^2$$
を考える。$\pi :\tilde{M}\to M$ を $M$ の向き付け二重被覆（$M$ の各点 $x$ と $x$ における局所的な向き $2$ つの組全体からなる $2$ 重被覆）とする。$\tilde{M}$ は連結な向き付け可能閉曲面であるから、ある $0$ 以上の整数 $g$ について種数 $g$ の向き付け可能閉曲面 ${\Sigma }_g$ と同相である。この $g$ を求めよ。

正十角形の $10$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$abc{b}^{-1}d{a}^{-1}e{c}^{-1}{d}^{-1}{e}^{-1}$$
ここで文字 $x$ はその辺に反時計回りの向きをつけること、$x^{-1}$ は時計回りの向きをつけることを表す。同じ文字の $2$ 辺を向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $S$ とする。$S$ はある $0$ 以上の整数 $g$ に対して種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面 ${\Sigma }_g$ に同相である。$g$ を求めよ。

$3$ 次元トーラスを $T^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ とし、$x\in {\mathbb{R}}^3$ の像を $[x]$ と書く。$S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ から $T^3$ への $2$ つの閉曲線
$${\gamma }_1(t)=[(2t,4t,6t)],{\gamma }_2(t)=[(4t,2t,0)](t\in \mathbb{R}/\mathbb{Z})$$
を考える。$2$ 次元円板 $D^2$ を $2$ 枚用意し、その境界 $\partial D^2\cong S^1$ をそれぞれ ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ によって $T^3$ に貼り付けて得られる空間を $X$ とする。$X$ の整数係数ホモロジー群について、$1$ 次ベッチ数 $b_1(X)$、$2$ 次ベッチ数 $b_2(X)$、および $H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分の位数を、この順に組で求めよ。

$\mathbb{R}{P}^2$ を実射影平面、$S^1$ を円周とし、$2$ つの $\mathbb{R}{P}^2$ と $1$ つの $S^1$ をそれぞれ $1$ 点ずつで貼り合わせた一点和
$$X=\mathbb{R}{P}^2\vee \mathbb{R}{P}^2\vee S^1$$
を考える。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to X$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるとする（基点は考えない）。同型類の個数を求めよ。