代数的位相幾何の問題

正六角形の辺に、ある頂点から反時計回りに順に語
$$abc{a}^{-1}{b}^{-1}{c}^{-1}$$
でラベルと向きを付ける（指数 $+1$ の辺は反時計回りの向き、指数 $-1$ の辺は時計回りの向きをもつ）。同じ文字の辺どうしを、向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $M$ とする。$M$ は向き付け可能である。$M$ の種数 $g$ を求めよ。

正十角形の $10$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$abc{b}^{-1}d{a}^{-1}e{c}^{-1}{d}^{-1}{e}^{-1}$$
ここで文字 $x$ はその辺に反時計回りの向きをつけること、$x^{-1}$ は時計回りの向きをつけることを表す。同じ文字の $2$ 辺を向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $S$ とする。$S$ はある $0$ 以上の整数 $g$ に対して種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面 ${\Sigma }_g$ に同相である。$g$ を求めよ。

$2$ 次元球面から、閉包が互いに交わらない $3$ つの開円板を取り除いて得られる曲面を $P$ とし、その境界の $3$ つの円周を $C_1,C_2,C_3$ とする。$C_1$ と $C_2$ のそれぞれに、メビウスの帯の境界の円周を同相写像で貼り合わせる。さらに $C_3$ には、トーラスから $1$ つの開円板を取り除いて得られる曲面の境界の円周を同相写像で貼り合わせる。こうして得られる閉曲面を $S$ とする。

$S$ はある正の整数 $k$ に対して、$k$ 個の実射影平面の連結和 $\underset{k}{\underbrace{{\mathbb{RP}}^2\#\cdots \#{\mathbb{RP}}^2}}$ に同相である。$k$ を求めよ。

$2$ つの六角形 $P_1,P_2$ を用意する。各六角形の $6$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$P_1:abc{b}^{-1}de,P_2:afd{f}^{-1}{c}^{-1}{e}^{-1}$$
ここで、文字 $x$ はその辺を反時計回りの向きに、$x^{-1}$ は時計回りの向きにたどることを表す。同じ文字の $2$ 本の辺を、向きが一致するように同一視して得られる空間を $X$ とする（$X$ は連結な閉曲面になる）。

整数係数ホモロジー群が $H_1(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus (\mathbb{Z}/2{)}^s$（$r,s$ は $0$ 以上の整数）と表されるとき、組 $(r,s)$ を求めよ。

$3$ 枚の六角形 $P,Q,R$ を用意する。各六角形の $6$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$P:abc{b}^{-1}de,Q:a^{-1}fg{f}^{-1}{d}^{-1}i,R:ch{g}^{-1}e{h}^{-1}{i}^{-1}$$
ここで、文字 $x$ はその辺の向きが反時計回りの向きと一致することを、$x^{-1}$ は逆向きであることを表す。$9$ 種類の文字 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ はそれぞれちょうど $2$ 回ずつ現れる。同じ文字のついた $2$ 本の辺を、向きが一致するように同一視して得られる空間を $M$ とする（$M$ は連結な閉曲面になる）。

整数係数ホモロジー群を $H_1(M;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus T$（$r$ は $0$ 以上の整数、$T$ は有限アーベル群）と表すとき、$r$ と $T$ の位数 $|T|$ の組 $(r,|T|)$ を求めよ。