閉曲面の分類と多角形の貼り合わせ

正六角形の辺に、ある頂点から反時計回りに順に語
$$abc{a}^{-1}{b}^{-1}{c}^{-1}$$
でラベルと向きを付ける（指数 $+1$ の辺は反時計回りの向き、指数 $-1$ の辺は時計回りの向きをもつ）。同じ文字の辺どうしを、向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $M$ とする。$M$ は向き付け可能である。$M$ の種数 $g$ を求めよ。

$8$ 角形の辺に、境界を一周する向きに沿って順に
$$abac{b}^{-1}dcd$$
とラベルを付け、同じ文字の辺どうしを矢印の向き（指数 $-1$ は逆向き）が一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $X$ とする。$X$ は $k$ 個の実射影平面の連結和 $\underset{k}{\underbrace{\mathbb{R}{P}^2\#\cdots \#\mathbb{R}{P}^2}}$ と同相である。$k$ を求めよ。

正十角形の $10$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$abc{b}^{-1}d{a}^{-1}e{c}^{-1}{d}^{-1}{e}^{-1}$$
ここで文字 $x$ はその辺に反時計回りの向きをつけること、$x^{-1}$ は時計回りの向きをつけることを表す。同じ文字の $2$ 辺を向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $S$ とする。$S$ はある $0$ 以上の整数 $g$ に対して種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面 ${\Sigma }_g$ に同相である。$g$ を求めよ。

$2$ 次元球面から、閉包が互いに交わらない $3$ つの開円板を取り除いて得られる曲面を $P$ とし、その境界の $3$ つの円周を $C_1,C_2,C_3$ とする。$C_1$ と $C_2$ のそれぞれに、メビウスの帯の境界の円周を同相写像で貼り合わせる。さらに $C_3$ には、トーラスから $1$ つの開円板を取り除いて得られる曲面の境界の円周を同相写像で貼り合わせる。こうして得られる閉曲面を $S$ とする。

$S$ はある正の整数 $k$ に対して、$k$ 個の実射影平面の連結和 $\underset{k}{\underbrace{{\mathbb{RP}}^2\#\cdots \#{\mathbb{RP}}^2}}$ に同相である。$k$ を求めよ。

$T^2$ をトーラス、${\mathbb{RP}}^2$ を実射影平面とし、連結和
$$M=T^2\#T^2\#{\mathbb{RP}}^2\#{\mathbb{RP}}^2$$
を考える。$\pi :\tilde{M}\to M$ を $M$ の向き付け二重被覆（$M$ の各点 $x$ と $x$ における局所的な向き $2$ つの組全体からなる $2$ 重被覆）とする。$\tilde{M}$ は連結な向き付け可能閉曲面であるから、ある $0$ 以上の整数 $g$ について種数 $g$ の向き付け可能閉曲面 ${\Sigma }_g$ と同相である。この $g$ を求めよ。

$3$ 枚の六角形 $P,Q,R$ を用意する。各六角形の $6$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$P:abc{b}^{-1}de,Q:a^{-1}fg{f}^{-1}{d}^{-1}i,R:ch{g}^{-1}e{h}^{-1}{i}^{-1}$$
ここで、文字 $x$ はその辺の向きが反時計回りの向きと一致することを、$x^{-1}$ は逆向きであることを表す。$9$ 種類の文字 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ はそれぞれちょうど $2$ 回ずつ現れる。同じ文字のついた $2$ 本の辺を、向きが一致するように同一視して得られる空間を $M$ とする（$M$ は連結な閉曲面になる）。

整数係数ホモロジー群を $H_1(M;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus T$（$r$ は $0$ 以上の整数、$T$ は有限アーベル群）と表すとき、$r$ と $T$ の位数 $|T|$ の組 $(r,|T|)$ を求めよ。

$2$ つの六角形 $P_1,P_2$ を用意する。各六角形の $6$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$P_1:abc{b}^{-1}de,P_2:afd{f}^{-1}{c}^{-1}{e}^{-1}$$
ここで、文字 $x$ はその辺を反時計回りの向きに、$x^{-1}$ は時計回りの向きにたどることを表す。同じ文字の $2$ 本の辺を、向きが一致するように同一視して得られる空間を $X$ とする（$X$ は連結な閉曲面になる）。

整数係数ホモロジー群が $H_1(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus (\mathbb{Z}/2{)}^s$（$r,s$ は $0$ 以上の整数）と表されるとき、組 $(r,s)$ を求めよ。

$N_3=\mathbb{R}{P}^2\#\mathbb{R}{P}^2\#\mathbb{R}{P}^2$ を $3$ 個の射影平面の連結和として得られる向き付け不可能な閉曲面とする。$N_3$ の連結な $2$ 重被覆空間 $p:Y\to N_3$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $2$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to N_3$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to N_3$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという。

同型類で数えたとき、連結な $2$ 重被覆空間のうち、全空間 $Y$ が向き付け不可能であるものはいくつあるか。

クラインの壺 $K$ を、正方形 $[0,1{]}^2$ において $(s,0)\sim (s,1)$, $(0,u)\sim (1,1-u)$ $(s,u\in [0,1])$ と同一視して得られる空間とする。$K$ の連結な $6$ 重被覆空間 $p:Y\to K$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $6$ 点）のうち、$Y$ がクラインの壺に同相であるものを考える。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to K$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to K$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在することとする。

このような被覆空間の同型類の個数を求めよ。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な閉曲面とする。${\Sigma }_2$ の相異なる $3$ 点からなる部分集合全体の空間
$$C_3({\Sigma }_2)=\{\{p_1,p_2,p_3\}\subset {\Sigma }_2:p_1,p_2,p_3\text{are pairwise distinct}\}$$
（順序付き配置空間 $F_3({\Sigma }_2)=\{(p_1,p_2,p_3)\in {\Sigma }_2^3:p_i\ne p_j(i\ne j)\}$ を、対称群 $S_3$ の座標の入れ替えによる作用で割った商空間）のオイラー標数 $\chi (C_3({\Sigma }_2))$ を求めよ。

正の整数 $g$ に対して ${\Sigma }_g$ を種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面とし、正の整数 $h$ に対して $N_h$ を $h$ 個の実射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$ の連結和として得られる向き付け不可能な閉曲面とする（$N_1=\mathbb{R}{P}^2$）。

閉曲面 $X$ と曲面 $Y$ について、「$Y$ が $X$ を被覆する」とは、$Y$ を全空間とする被覆写像 $p:Y\to X$ が存在することとする（$Y$ は連結とする）。

${\Sigma }_{13}$ と $N_{20}$ のどちらもが $N_h$ を被覆するような正の整数 $h$ をすべて求めよ。

この問題では、曲面とは境界のない第二可算ハウスドルフな 2 次元位相多様体とし、閉曲面とはコンパクトかつ連結な曲面とする。ホモロジーはすべて整数係数の特異ホモロジーとする。曲面 $S$ の座標円板とは、$S$ のある開集合 $W$ と同相写像 $\phi :W\to {\mathbb{R}}^2$（${\mathbb{R}}^2$ 全体への同相写像）について ${\phi }^{-1}(\{v\in {\mathbb{R}}^2\mid |v-v_0|<r\})$（$v_0\in {\mathbb{R}}^2$, $r>0$）と表される集合のこととする。座標円板 $D$ について $H_2(S,S\setminus D)\cong \mathbb{Z}$ であり、各 $z\in D$ について包含写像が誘導する $H_2(S,S\setminus D)\to H_2(S,S\setminus \{z\})$ は同型である。曲面 $S$ の向き付けとは、各点 $y\in S$ に対して $H_2(S,S\setminus \{y\})\cong \mathbb{Z}$ の生成元 ${\mu }_y$ を 1 つずつ選んだもので、次の条件をみたすものと定める: 各 $y\in S$ に対し、$y$ を含む座標円板 $D$ と $H_2(S,S\setminus D)$ の生成元 ${\mu }_D$ で、すべての $z\in D$ について ${\mu }_D$ の $H_2(S,S\setminus \{z\})$ への像が ${\mu }_z$ に等しいものが存在する。向き付けが存在する曲面を向き付け可能という。$k\ge 0$ に対し、${\Sigma }_k$ で種数 $k$ の向き付け可能な閉曲面を表す。

$g\ge 0$ を整数、$n$ を正の奇数とし、閉曲面 $M$ への $n$ 重被覆写像 $p:{\Sigma }_g\to M$（各点のファイバーがちょうど $n$ 点からなる被覆写像）が存在するとする。このとき、$M$ は向き付け可能であり、かつ $n$ は $g-1$ を割り切ることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。

(i) 閉曲面の分類定理: 向き付け可能な閉曲面は、ある $k\ge 0$ に対する ${\Sigma }_k$ にただ 1 つ同相であり、$\chi ({\Sigma }_k)=2-2k$ である。

(ii) 閉曲面 $E$ から閉曲面 $B$ への $n$ 重被覆写像があれば $\chi (E)=n\chi (B)$ である。

(iii) 曲面 $M$ の向き付け二重被覆 $q:\tilde{M}\to M$ を、$\tilde{M}=\{(x,{\mu }_x)\mid x\in M,{\mu }_x\text{ は }{H}_2(M,M\setminus \{x\})\text{ の生成元}\}$、$q(x,{\mu }_x)=x$ で定める。ここで $\tilde{M}$ の位相は、$M$ の座標円板 $B$ と $H_2(M,M\setminus B)$ の生成元 ${\mu }_B$ の組ごとに定まる集合 $U({\mu }_B)=\{(x,{\mu }_x)\mid x\in B,{\mu }_x\text{ は }{\mu }_B\text{ の像}\}$ 全体を開基とするものである。$\tilde{M}$ は曲面であり、$q$ は 2 重被覆写像で、各 $U({\mu }_B)$ について $q{|}_{U({\mu }_B)}:U({\mu }_B)\to B$ は同相である。さらに、$M$ が閉曲面のとき「$\tilde{M}$ が連結」と「$M$ が向き付け不可能」は同値である。

(iv) $p:X\to B$、$q:Y\to B$ が被覆写像で、$X,Y$ が連結かつ局所弧状連結であり、連続写像 $f:X\to Y$ が $q\circ f=p$ を満たすならば、$f$ は（全射な）被覆写像である。