代数的位相幾何の問題

$\mathbb{R}{P}^2$ を実射影平面、$S^1$ を円周とし、$2$ つの $\mathbb{R}{P}^2$ と $1$ つの $S^1$ をそれぞれ $1$ 点ずつで貼り合わせた一点和
$$X=\mathbb{R}{P}^2\vee \mathbb{R}{P}^2\vee S^1$$
を考える。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to X$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるとする（基点は考えない）。同型類の個数を求めよ。

$2$ 次元球面から、閉包が互いに交わらない $3$ つの開円板を取り除いて得られる曲面を $P$ とし、その境界の $3$ つの円周を $C_1,C_2,C_3$ とする。$C_1$ と $C_2$ のそれぞれに、メビウスの帯の境界の円周を同相写像で貼り合わせる。さらに $C_3$ には、トーラスから $1$ つの開円板を取り除いて得られる曲面の境界の円周を同相写像で貼り合わせる。こうして得られる閉曲面を $S$ とする。

$S$ はある正の整数 $k$ に対して、$k$ 個の実射影平面の連結和 $\underset{k}{\underbrace{{\mathbb{RP}}^2\#\cdots \#{\mathbb{RP}}^2}}$ に同相である。$k$ を求めよ。

正十角形の $10$ 本の辺を、ある頂点から反時計回りに順にたどり、次の語に従ってラベルと向きをつける。
$$abc{b}^{-1}d{a}^{-1}e{c}^{-1}{d}^{-1}{e}^{-1}$$
ここで文字 $x$ はその辺に反時計回りの向きをつけること、$x^{-1}$ は時計回りの向きをつけることを表す。同じ文字の $2$ 辺を向きが一致するように貼り合わせて得られる閉曲面を $S$ とする。$S$ はある $0$ 以上の整数 $g$ に対して種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面 ${\Sigma }_g$ に同相である。$g$ を求めよ。

トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の連結な $12$ 重被覆空間 $p:Y\to T^2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $12$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to T^2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to T^2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在することとする。

連結な $12$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の連結な $4$ 重被覆空間 $p:Y\to T^2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $4$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to T^2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to T^2$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという。連結な $4$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。