被覆空間と部分群の対応

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な閉曲面とする。${\Sigma }_2$ の連結な $2$ 重被覆空間 $p:Y\to {\Sigma }_2$ の、被覆空間としての同型類の個数を求めよ。ただし、2 つの被覆 $p:Y\to {\Sigma }_2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to {\Sigma }_2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ をみたすものが存在することとする。

四元数全体 $\mathbb{H}$ の中の単位四元数全体 $S^3=\{q\in \mathbb{H}:|q|=1\}$ を考える。
$$x=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3},y=j$$
で生成される $S^3$ の部分群を $G$ とし、$G$ を左からの積で $S^3$ に作用させた商空間 $X=G\backslash S^3$ を考える。$X$ の基本群 ${\pi }_1(X)$ の位数と、そのアーベル化 ${\pi }_1(X{)}^{\mathrm{ab}}={\pi }_1(X)/[{\pi }_1(X),{\pi }_1(X)]$ の位数を、この順に組で答えよ。

トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の連結な $4$ 重被覆空間 $p:Y\to T^2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $4$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to T^2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to T^2$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという。連結な $4$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の連結な $12$ 重被覆空間 $p:Y\to T^2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $12$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to T^2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to T^2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在することとする。

連結な $12$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

$T^2$ をトーラス、${\mathbb{RP}}^2$ を実射影平面とし、連結和
$$M=T^2\#T^2\#{\mathbb{RP}}^2\#{\mathbb{RP}}^2$$
を考える。$\pi :\tilde{M}\to M$ を $M$ の向き付け二重被覆（$M$ の各点 $x$ と $x$ における局所的な向き $2$ つの組全体からなる $2$ 重被覆）とする。$\tilde{M}$ は連結な向き付け可能閉曲面であるから、ある $0$ 以上の整数 $g$ について種数 $g$ の向き付け可能閉曲面 ${\Sigma }_g$ と同相である。この $g$ を求めよ。

$g\ge 1$ を整数とし、${\Sigma }_g$ を種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面とする。${\Sigma }_g$ の 2 重被覆 $p:E\to {\Sigma }_g$ で全空間 $E$ が連結であるものを考える。2 つの被覆 $p_1:E_1\to {\Sigma }_g$、$p_2:E_2\to {\Sigma }_g$ は、同相写像 $h:E_1\to E_2$ で $p_2\circ h=p_1$ を満たすものが存在するとき同型であるという（基点は考えない）。

このとき、${\Sigma }_g$ の連結な 2 重被覆は、同型を除いてちょうど $2^{2g}-1$ 個あることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。

(i) 被覆空間の分類定理: $X$ が弧状連結・局所弧状連結・半局所単連結な空間で $x_0\in X$ のとき、$X$ の連結な被覆の同型類（基点なし）全体と、${\pi }_1(X,x_0)$ の部分群の共役類全体の間には全単射があり、連結な被覆 $p:E\to X$ には部分群 $p_{\ast }{\pi }_1(E,e_0)$（$e_0\in p^{-1}(x_0)$）の共役類が対応する。さらに、このとき被覆の重複度（シート数）は指数 $[{\pi }_1(X,x_0):p_{\ast }{\pi }_1(E,e_0)]$ に等しい。

(ii) ${\pi }_1({\Sigma }_g,x_0)$ は表示 $⟨a_1,b_1,\dots ,a_g,b_g\mid [a_1,b_1][a_2,b_2]\cdots [a_g,b_g]⟩$ をもつ。ここで $[a,b]=ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ である。

$\mathbb{R}{P}^2$ を実射影平面、$S^1$ を円周とし、$2$ つの $\mathbb{R}{P}^2$ と $1$ つの $S^1$ をそれぞれ $1$ 点ずつで貼り合わせた一点和
$$X=\mathbb{R}{P}^2\vee \mathbb{R}{P}^2\vee S^1$$
を考える。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to X$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるとする（基点は考えない）。同型類の個数を求めよ。

$N_3=\mathbb{R}{P}^2\#\mathbb{R}{P}^2\#\mathbb{R}{P}^2$ を $3$ 個の射影平面の連結和として得られる向き付け不可能な閉曲面とする。$N_3$ の連結な $2$ 重被覆空間 $p:Y\to N_3$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $2$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to N_3$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to N_3$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという。

同型類で数えたとき、連結な $2$ 重被覆空間のうち、全空間 $Y$ が向き付け不可能であるものはいくつあるか。

クラインの壺 $K$ を、正方形 $[0,1{]}^2$ において $(s,0)\sim (s,1)$, $(0,u)\sim (1,1-u)$ $(s,u\in [0,1])$ と同一視して得られる空間とする。$K$ の連結な $6$ 重被覆空間 $p:Y\to K$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $6$ 点）のうち、$Y$ がクラインの壺に同相であるものを考える。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to K$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to K$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在することとする。

このような被覆空間の同型類の個数を求めよ。

$S^3=\{(z,w)\in {\mathbb{C}}^2:|z{|}^2+|w{|}^2=1\}$ とし、$\zeta =e^{2\pi i/6}$ とする。巡回群 $\mathbb{Z}/6$ の生成元を $(z,w)\mapsto (\zeta z,\zeta w)$ として $S^3$ に作用させ、その商空間をレンズ空間 $L=S^3/(\mathbb{Z}/6)$ とする。さらに $X=S^1\times L$ とおく。

正の整数 $n$ に対し、$X$ の連結な $n$ 重被覆空間（全空間が連結で、各点の逆像がちょうど $n$ 点である被覆写像 $p:Y\to X$）の、被覆空間としての同型類の個数を $c_n$ とする。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ が同型であるとは、同相写像 $\varphi :Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ \varphi =p$ を満たすものが存在することとする（基点は考えない）。

$$\sum _{n=1}^{12}{c}_n$$
を求めよ。

$3$ つの円周を $1$ 点で貼り合わせた空間（$3$ つの円周のブーケ）を $X=S^1\vee S^1\vee S^1$ とする。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to X$（$Y$ は連結で、$X$ の各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという（基点は考えない）。連結な $3$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

トーラス $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の同相写像 $f:T^2\to T^2$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$$
を用いて $f([v])=[Av]$ と定める。$f$ の写像トーラス
$$M=T^2\times [0,1]/((x,0)\sim (f(x),1))$$
を考え、射影 $T^2\times [0,1]\to [0,1]$ から誘導される写像 $q:M\to S^1=[0,1]/(0\sim 1)$ が基本群に誘導する全射準同型を $\phi :{\pi }_1(M)\to {\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ とする。

$p:Y\to M$ を、部分群 ${\phi }^{-1}(3\mathbb{Z})\subset {\pi }_1(M)$ に対応する連結な被覆空間とする（$p_{\ast }{\pi }_1(Y)={\phi }^{-1}(3\mathbb{Z})$）。${\pi }_1(Y)$ のアーベル化 ${\pi }_1(Y{)}^{\mathrm{ab}}$ のねじれ部分群（有限位数の元全体のなす部分群）の位数を求めよ。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な閉曲面とする。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to {\Sigma }_2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to {\Sigma }_2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to {\Sigma }_2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ をみたすものが存在することとする（基点は考えない）。

同型を除いて、連結な $3$ 重被覆空間は何個あるか。

正の整数 $g$ に対して ${\Sigma }_g$ を種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面とし、正の整数 $h$ に対して $N_h$ を $h$ 個の実射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$ の連結和として得られる向き付け不可能な閉曲面とする（$N_1=\mathbb{R}{P}^2$）。

閉曲面 $X$ と曲面 $Y$ について、「$Y$ が $X$ を被覆する」とは、$Y$ を全空間とする被覆写像 $p:Y\to X$ が存在することとする（$Y$ は連結とする）。

${\Sigma }_{13}$ と $N_{20}$ のどちらもが $N_h$ を被覆するような正の整数 $h$ をすべて求めよ。

$Y=S^1\vee S^1$ を $2$ つの円周の一点和とし、一点和の点を $v$、$2$ つの円周を $v$ を基点とするループ $a,b$ とみなす。連続写像 $f:Y\to Y$ を、$f(v)=v$ で、ループ $a$ をループ $b$ に、ループ $b$ をループの積 $ab$（$a$ をたどってから $b$ をたどる）に写すものとする。$f$ の写像トーラス
$$M_f=Y\times [0,1]/((y,1)\sim (f(y),0)(y\in Y))$$
を考え、射影 $Y\times [0,1]\to [0,1]$ から誘導される写像 $q:M_f\to S^1=[0,1]/(0\sim 1)$ が定める準同型 $q_{\ast }:{\pi }_1(M_f)\to {\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ と、還元 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の合成の核を $K$ とする。$K$ に対応する $M_f$ の連結な被覆空間を $\tilde{X}$ とする。

${\pi }_1(\tilde{X})$ のアーベル化 ${\pi }_1(\tilde{X}{)}^{\mathrm{ab}}$ のねじれ部分群（有限位数の元全体）の位数を求めよ。

この問題では、曲面とは境界のない第二可算ハウスドルフな 2 次元位相多様体とし、閉曲面とはコンパクトかつ連結な曲面とする。ホモロジーはすべて整数係数の特異ホモロジーとする。曲面 $S$ の座標円板とは、$S$ のある開集合 $W$ と同相写像 $\phi :W\to {\mathbb{R}}^2$（${\mathbb{R}}^2$ 全体への同相写像）について ${\phi }^{-1}(\{v\in {\mathbb{R}}^2\mid |v-v_0|<r\})$（$v_0\in {\mathbb{R}}^2$, $r>0$）と表される集合のこととする。座標円板 $D$ について $H_2(S,S\setminus D)\cong \mathbb{Z}$ であり、各 $z\in D$ について包含写像が誘導する $H_2(S,S\setminus D)\to H_2(S,S\setminus \{z\})$ は同型である。曲面 $S$ の向き付けとは、各点 $y\in S$ に対して $H_2(S,S\setminus \{y\})\cong \mathbb{Z}$ の生成元 ${\mu }_y$ を 1 つずつ選んだもので、次の条件をみたすものと定める: 各 $y\in S$ に対し、$y$ を含む座標円板 $D$ と $H_2(S,S\setminus D)$ の生成元 ${\mu }_D$ で、すべての $z\in D$ について ${\mu }_D$ の $H_2(S,S\setminus \{z\})$ への像が ${\mu }_z$ に等しいものが存在する。向き付けが存在する曲面を向き付け可能という。$k\ge 0$ に対し、${\Sigma }_k$ で種数 $k$ の向き付け可能な閉曲面を表す。

$g\ge 0$ を整数、$n$ を正の奇数とし、閉曲面 $M$ への $n$ 重被覆写像 $p:{\Sigma }_g\to M$（各点のファイバーがちょうど $n$ 点からなる被覆写像）が存在するとする。このとき、$M$ は向き付け可能であり、かつ $n$ は $g-1$ を割り切ることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。

(i) 閉曲面の分類定理: 向き付け可能な閉曲面は、ある $k\ge 0$ に対する ${\Sigma }_k$ にただ 1 つ同相であり、$\chi ({\Sigma }_k)=2-2k$ である。

(ii) 閉曲面 $E$ から閉曲面 $B$ への $n$ 重被覆写像があれば $\chi (E)=n\chi (B)$ である。

(iii) 曲面 $M$ の向き付け二重被覆 $q:\tilde{M}\to M$ を、$\tilde{M}=\{(x,{\mu }_x)\mid x\in M,{\mu }_x\text{ は }{H}_2(M,M\setminus \{x\})\text{ の生成元}\}$、$q(x,{\mu }_x)=x$ で定める。ここで $\tilde{M}$ の位相は、$M$ の座標円板 $B$ と $H_2(M,M\setminus B)$ の生成元 ${\mu }_B$ の組ごとに定まる集合 $U({\mu }_B)=\{(x,{\mu }_x)\mid x\in B,{\mu }_x\text{ は }{\mu }_B\text{ の像}\}$ 全体を開基とするものである。$\tilde{M}$ は曲面であり、$q$ は 2 重被覆写像で、各 $U({\mu }_B)$ について $q{|}_{U({\mu }_B)}:U({\mu }_B)\to B$ は同相である。さらに、$M$ が閉曲面のとき「$\tilde{M}$ が連結」と「$M$ が向き付け不可能」は同値である。

(iv) $p:X\to B$、$q:Y\to B$ が被覆写像で、$X,Y$ が連結かつ局所弧状連結であり、連続写像 $f:X\to Y$ が $q\circ f=p$ を満たすならば、$f$ は（全射な）被覆写像である。