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代数的位相幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学代数的位相幾何

四元数全体 $H$ の中の単位四元数全体 $S^{3} = {q \in H : ∣ q ∣ = 1}$ を考える。
$x = cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}, y = j$
で生成される $S^{3}$ の部分群を $G$ とし、 $G$ を左からの積で $S^{3}$ に作用させた商空間 $X = G \ S^{3}$ を考える。 $X$ の基本群 $π_{1} (X)$ の位数と、そのアーベル化 $π_{1} (X)^{ab} = π_{1} (X) / [π_{1} (X), π_{1} (X)]$ の位数を、この順に組で答えよ。

この問題で使うもの

被覆空間と部分群の対応（説明と入口の問題）
基本群の表示とアーベル化（説明と入口の問題）
群の位数と元の位数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（92 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$S^{3}$ は単連結で、有限群が自由に作用していれば商写像は普遍被覆になり、基本群は作用する群そのものになります。

ヒント 2

$x^{3} = - 1 = y^{2}$ 、 $y x y^{- 1} = x^{- 1}$ を確かめると、 $G$ の元は $x^{k}, x^{k} y$ （ $0 \leq k \leq 5$ ）で尽くされます。

ヒント 3

アーベル化では $y x y^{- 1} = x^{- 1}$ から $2 x = 0$ 、 $y^{2} = x^{3}$ から $2 y = 3 x = x$ が出ます。これで生成元を $1$ つに減らしましょう。

答えと解説

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(12, 4)

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解説を読む

$G$ の構造 $x$ は複素数 $e^{π i /3}$ と同じなので位数 $6$ で、 $x^{3} = - 1$ 。また $y^{2} = j^{2} = - 1 = x^{3}$ 。さらに $j i j^{- 1} = - i$ より
$y x y^{- 1} = cos \frac{π}{3} - i sin \frac{π}{3} = x^{- 1} .$
この関係から $G$ の元はすべて $x^{k}$ または $x^{k} y$ （ $0 \leq k \leq 5$ ）の形に書け、これらは相異なる（ $x^{k} y$ は $j$ 成分または $k$ 成分をもち、 $x^{k}$ はもたない）。よって $∣ G ∣ = 12$ で、 $G$ は
$G = ⟨ x, y ∣ x^{6} = 1, y^{2} = x^{3}, y x y^{- 1} = x^{- 1} ⟩$
と表示される（位数 $12$ の二項二面体群）。

基本群 $g \in G$ , $g \neq = 1$ に対して $g q = q$ となる $q \in S^{3}$ はない（ $q$ は可逆なので $g = 1$ になる）。よって $G$ の作用は自由で、 $G$ は有限群なので商写像 $S^{3} \to X$ は被覆写像である。 $S^{3}$ は単連結なので、これは普遍被覆であり
$π_{1} (X) ≅ G, ∣ π_{1} (X) ∣ = 12.$

アーベル化 上の表示を加法的に書くと、生成元 $x, y$ に関係式
$6 x = 0, 2 y = 3 x, x = - x (i.e. 2 x = 0)$
が課される。 $2 x = 0$ より $3 x = x$ なので $2 y = x$ 。したがって $x$ は $y$ で表され、アーベル化は $y$ だけで生成され、関係式は $4 y = 2 x = 0$ （ $6 x = 0$ は $2 x = 0$ から従う）となる。よって
$π_{1} (X)^{ab} ≅ Z /4, ∣ π_{1} (X)^{ab} ∣ = 4.$
（確認: 交換子 $x y x^{- 1} y^{- 1} = x \cdot x = x^{2}$ より $[G, G] \supset ⟨ x^{2} ⟩ = {1, x^{2}, x^{4}}$ 。 $G / ⟨ x^{2} ⟩$ は位数 $4$ で、 $y$ の像の位数が $4$ なのでアーベル群であり、 $[G, G] = ⟨ x^{2} ⟩$ 、 $12/3 = 4$ と一致する。）

答えは $(12, 4)$ 。

別解

$x = e^{iπ /3}$ は位数 6、 $y = j$ は $y^{2} = - 1 = x^{3}$ 、 $y x y^{- 1} = x ˉ = x^{- 1}$ （ $j i j^{- 1} = - i$ より）。よって $G = ⟨ x, y ∣ x^{6} = 1, y^{2} = x^{3}, y x y^{- 1} = x^{- 1} ⟩$ で、 $G = {x^{k}, x^{k} y ∣ 0 \leq k \leq 5}$ 、位数 12（4 元数群の一般化、dicyclic 群 $Dic_{3}$ ）。

$G$ は $S^{3}$ に左から自由に作用し、 $S^{3}$ は単連結なので $π_{1} (X) ≅ G$ で位数 12。

アーベル化: 関係 $y x y^{- 1} = x^{- 1}$ から $x^{2} = 1$ 。 $x^{6} = 1$ は自動的に成り立つ。 $y^{2} = x^{3} = x$ （ $x^{2} = 1$ より）。よって $x = y^{2}$ で生成元は $y$ のみ、 $y^{4} = x^{2} = 1$ 。 $G^{ab} ≅ Z /4$ で位数 4（ $[G, G] = ⟨ x^{2} ⟩$ は位数 3、 $12/3 = 4$ で一致）。

答え: $(12, 4)$ 。

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