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代数的位相幾何の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学代数的位相幾何

種数 $2$ の向き付け可能閉曲面 $Σ_{2}$ に、 $0$ 胞体 $v$ 、 $1$ 胞体 $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}$ （いずれも $v$ を基点とするループ）、語 $a_{1} b_{1} a_{1}^{- 1} b_{1}^{- 1} a_{2} b_{2} a_{2}^{- 1} b_{2}^{- 1}$ に沿って貼られた $2$ 胞体 $1$ 個からなる標準的な CW 構造を入れる。 $Σ_{2}$ に、さらに $4$ 個の $2$ 胞体 $D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}$ を、それぞれの境界の円周を $1$ 骨格の語
$D_{1} : a_{1} b_{2}^{2}, D_{2} : b_{1} a_{2}, D_{3} : a_{2}^{3} b_{1}^{- 1}, D_{4} : b_{2} a_{1}^{- 1} b_{2}$
に沿って貼り付けて得られる空間を $X$ とする（指数 $- 1$ は逆向きにたどることを表す）。基本群 $π_{1} (X, v)$ のアーベル化 $π_{1} (X, v) / [π_{1} (X, v), π_{1} (X, v)]$ は有限群である。その位数を求めよ。

この問題で使うもの

基本群の表示とアーベル化（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）
整数行列の単因子（スミス標準形）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（89 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$1$ 骨格の基本群は自由群で、 $2$ 胞体を貼るとファン・カンペンの定理により貼り付けの語が関係式として加わる。 $π_{1} (X, v)$ の表示を書こう。

ヒント 2

アーベル化では各関係式を指数和のベクトルに置き換え、 $Z^{4}$ をそれらで生成される部分群で割る。 $Σ_{2}$ の $2$ 胞体の関係式（交換子の積）はアーベル化で自明になる。

ヒント 3

関係ベクトルは $(1, 0, 0, 2), (0, 1, 1, 0), (0, - 1, 3, 0), (- 1, 0, 0, 2)$ 。 $(a_{1}, b_{2})$ 成分と $(b_{1}, a_{2})$ 成分に分けて、それぞれの $2 \times 2$ 行列式を計算する。

答えと解説

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解説を読む

1. 基本群の表示. $1$ 骨格は $4$ つの円周のブーケなので、その基本群は $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}$ で生成される自由群である。 $2$ 胞体を $1$ つ貼るごとに、ファン・カンペンの定理により貼り付けの語が関係式として加わる。よって
$π_{1} (X, v) ≅ ⟨ a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2} [a_{1}, b_{1}] [a_{2}, b_{2}], a_{1} b_{2}^{2}, b_{1} a_{2}, a_{2}^{3} b_{1}^{- 1}, b_{2} a_{1}^{- 1} b_{2} ⟩ .$

2. アーベル化. アーベル化は、生成元で生成される自由アーベル群 $Z^{4}$ を、各関係式の指数和ベクトルで生成される部分群で割ったものである。成分の順を $(a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2})$ とすると
- $[a_{1}, b_{1}] [a_{2}, b_{2}]$ : $(0, 0, 0, 0)$ （交換子は自明になる）
- $a_{1} b_{2}^{2}$ : $(1, 0, 0, 2)$
- $b_{1} a_{2}$ : $(0, 1, 1, 0)$
- $a_{2}^{3} b_{1}^{- 1}$ : $(0, - 1, 3, 0)$
- $b_{2} a_{1}^{- 1} b_{2}$ : $(- 1, 0, 0, 2)$

関係式は $(a_{1}, b_{2})$ だけを含むものと $(b_{1}, a_{2})$ だけを含むものに分かれるので
$π_{1} (X)^{ab} ≅ Z^{2} / ⟨(1, 2), (- 1, 2)⟩ \oplus Z^{2} / ⟨(1, 1), (- 1, 3)⟩ .$

3. 位数. $Z^{n}$ を $n$ 個のベクトルで生成される部分群で割った群は、それらを並べた行列の行列式が $0$ でなければ有限で、位数は行列式の絶対値に等しい（スミス標準形の単因子の積）。
$1 - 1 22 = 2 + 2 = 4, 1 - 1 13 = 3 + 1 = 4.$
どちらの行列も成分の最大公約数が $1$ なので、各因子は $Z /4$ であり
$π_{1} (X)^{ab} ≅ Z /4 \oplus Z /4.$
よって位数は $4 \cdot 4 = 16$ 。

別解

2 胞体を貼る操作で $π_{1}$ に関係式が加わるので、 $π_{1} (X, v) = ⟨ a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2} ∣ [a_{1}, b_{1}] [a_{2}, b_{2}], a_{1} b_{2}^{2}, b_{1} a_{2}, a_{2}^{3} b_{1}^{- 1}, b_{2} a_{1}^{- 1} b_{2} ⟩$ 。アーベル化は、加法的に書いた生成元 $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}$ に対する関係式で定まるアーベル群。曲面の関係式は交換子の積なのでアーベル化では $0$ になる。

残りの関係式:
$D_{1} : a_{1} + 2 b_{2} = 0$
$D_{2} : b_{1} + a_{2} = 0$
$D_{3} : 3 a_{2} - b_{1} = 0$
$D_{4} : 2 b_{2} - a_{1} = 0$

関係は ${a_{1}, b_{2}}$ と ${b_{1}, a_{2}}$ の 2 組に分かれる。
${a_{1}, b_{2}}$ : 行列 $(1 - 1 22)$ の行列式は $2 + 2 = 4$ 。
${b_{1}, a_{2}}$ : 行列 $(1 - 1 13)$ の行列式は $3 + 1 = 4$ 。
全体の関係行列は正方で行列式 $4 \cdot 4 = 16 \neq = 0$ なので、アーベル化は位数 $∣ det ∣ = 16$ の有限群。

検算: $b_{1} = - a_{2}$ を $D_{3}$ に代入すると $4 a_{2} = 0$ 、 $a_{1} = - 2 b_{2}$ を $D_{4}$ に代入すると $4 b_{2} = 0$ 。 $a_{2}, b_{2}$ が位数 $4$ の巡回群を生成し、 $a_{1}, b_{1}$ はそれらで決まるので群は $Z /4 \oplus Z /4$ で位数 $16$ 。

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