代数的位相幾何の問題

胞体鎖複体. 胞体鎖複体は
$$0\to C_2=\mathbb{Z}{e}_1\oplus \mathbb{Z}{e}_2\oplus \mathbb{Z}{e}_3\stackrel{{\partial }_2}{\to }{C}_1=\mathbb{Z}a\oplus \mathbb{Z}b\oplus \mathbb{Z}c\stackrel{{\partial }_1}{\to }{C}_0=\mathbb{Z}v\to 0$$
である。$0$ 胞体が $1$ 個なので各 $1$ 胞体の境界は $v-v=0$、すなわち ${\partial }_1=0$。$2$ 胞体の境界は、貼り付けの語に現れる各文字の指数の和（貼り付け写像を各円周につぶした写像の次数）で与えられる。

• $e_1$: $a$ は $2+1=3$、$b$ は $1-1=0$、$c$ は $2$。よって ${\partial }_2{e}_1=3a+2c$
• $e_2$: $a$ は $-1$、$b$ は $2+4=6$、$c$ は $1+1=2$。よって ${\partial }_2{e}_2=-a+6b+2c$
• $e_3$: $a,b,c$ はいずれも $2$。よって ${\partial }_2{e}_3=2a+2b+2c$

${\partial }_2$ を表す行列（列が $e_1,e_2,e_3$ の像）は
$$M=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ 0& 6& 2\\ 2& 2& 2\end{array}\right),\det M=3(12-4)-(-1)(0-4)+2(0-12)=24-4-24=-4.$$

$H_1(X;\mathbb{Z})$. ${\partial }_1=0$ より $H_1={\mathbb{Z}}^3/\mathrm{im}{\partial }_2$ で、これは生成元 $a,b,c$、関係式
$$3a+2c=0,-a+6b+2c=0,2a+2b+2c=0$$
をもつアーベル群である。$2$ 番目の関係式から $a=6b+2c$ として $a$ を消去すると、
$$3(6b+2c)+2c=18b+8c=0,2(6b+2c)+2b+2c=14b+6c=0.$$
よって $H_1\cong {\mathbb{Z}}^2/⟨(18,8),(14,6)⟩$。行列 $\left(\begin{array}{cc}18& 8\\ 14& 6\end{array}\right)$ の成分の最大公約数は $2$、行列式は $108-112=-4$ なので、スミス標準形は $\mathrm{diag}(2,2)$ である。したがって
$$H_1(X;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/2,N=4.$$
（$|\det M|=4$ とも一致する。）

$H_2(X;\mathbb{Z})$. $\det M\ne 0$ なので ${\partial }_2$ は単射で、$3$ 胞体がないから $H_2(X;\mathbb{Z})=\ker {\partial }_2=0$。

$\mathbb{Z}/p$ 係数. 普遍係数定理より
$$H_2(X;\mathbb{Z}/p)\cong H_2(X;\mathbb{Z})\otimes \mathbb{Z}/p\oplus \mathrm{Tor}(H_1(X;\mathbb{Z}),\mathbb{Z}/p)=\mathrm{Tor}(\mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/p).$$
$p=2$ のとき $\mathrm{Tor}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)=\mathbb{Z}/2$ より $d_2=2$。$p=3$ のとき $\gcd (2,3)=1$ より $0$ で $d_3=0$。

（検算：$M$ を $\mathrm{mod}2$ で見ると $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ で階数 $1$、よって $\dim \ker =2$。$\mathrm{mod}3$ では $\det M=-4\not\equiv 0$ なので階数 $3$、$\dim \ker =0$。また $\mathbb{Z}/2$ 係数のベッチ数 $1,2,2$ の交代和 $1-2+2=1$ はオイラー標数 $1-3+3=1$ と一致する。）

以上より $(N,d_2,d_3)=(4,2,0)$。

胞体鎖複体は $0\to {\mathbb{Z}}^3\stackrel{{\partial }_2}{\to }{\mathbb{Z}}^3\stackrel{{\partial }_1}{\to }\mathbb{Z}\to 0$。${\partial }_1=0$（1 胞体の両端はすべて $v$）。${\partial }_2$ は各 2 胞体の境界の語を可換化したもの（$a,b,c$ の指数和）。\n\n$e_1:a^{2}ba{b}^{-1}{c}^2$ は $a:3,b:1-1=0,c:2$ より $(3,0,2)$。\n$e_2:b^{2}c{a}^{-1}{b}^{4}c$ は $a:-1,b:6,c:2$ より $(-1,6,2)$。\n$e_3:cabacb$ は $a:2,b:2,c:2$ より $(2,2,2)$。\n\n行列 $M=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ -1& 6& 2\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$。$\det M=3(12-4)-0+2(-2-12)=24-28=-4\ne 0$。よって ${\partial }_2$ は単射で $H_2(X;\mathbb{Z})=0$、$H_1(X;\mathbb{Z})={\mathbb{Z}}^3/\mathrm{im}{\partial }_2$ の位数は $|\det M|=4$、$N=4$。\n\nスミス標準形: 成分の gcd は 1、2 次小行列式はすべて偶数（例: $18,8,-12,6,2,-4,-14,-6,8$、gcd は 2）なので $d_1=1,d_1{d}_2=2$、$d_2=2$、$d_3=4/2=2$。$H_1(X;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/2\oplus \mathbb{Z}/2$。\n\n万能係数定理: $H_2(X;\mathbb{Z}/k)\cong H_2(X;\mathbb{Z})\otimes \mathbb{Z}/k\oplus \mathrm{Tor}(H_1(X;\mathbb{Z}),\mathbb{Z}/k)$。$H_2(X;\mathbb{Z})=0$。\n$k=2$: $\mathrm{Tor}((\mathbb{Z}/2{)}^2,\mathbb{Z}/2)=(\mathbb{Z}/2{)}^2$ より $d_2=2$。\n$k=3$: $\mathrm{Tor}((\mathbb{Z}/2{)}^2,\mathbb{Z}/3)=0$ より $d_3=0$。\n\n検算: $\mathbb{Z}/2$ 係数では $M\mathrm{mod}2$ の行は $(1,0,0),(1,0,0),(0,0,0)$ で階数 1、核の次元は $3-1=2$ で $d_2=2$。$\mathbb{Z}/3$ 係数では $\det =-4\not\equiv 0$ なので階数 3、核は 0 で $d_3=0$。