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代数的位相幾何の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学代数的位相幾何

クラインの壺 $K$ を、正方形 $[0, 1]^{2}$ において
$(s, 0) \sim (s, 1), (0, u) \sim (1, 1 - u) (s, u \in [0, 1])$
と同一視して得られる空間とする。正方形の $4$ 頂点はすべて $1$ 点 $q \in K$ に移る。 $q$ を基点とする閉道 $a, b$ を
$a (u) = [(0, u)], b (s) = [(s, 0)] (0 \leq s, u \leq 1)$
で定める。 $K$ に $2$ 胞体 $D^{2}$ を、その境界を閉道 $b^{2} a^{- 5}$ （ $b$ を $2$ 回たどったあと $a$ を逆向きに $5$ 回たどる閉道）に沿って貼り付けて得られる空間を $X$ とする。

基本群 $π_{1} (X, q)$ の位数と、そのアーベル化 $π_{1} (X, q)^{ab}$ の位数を、この順に組で求めよ。

この問題で使うもの

基本群の表示とアーベル化（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（89 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

正方形の境界を読んで $π_{1} (K, q)$ の表示を求め、 $2$ 胞体の貼り付けで関係式 $b^{2} = a^{5}$ が加わることを使おう。

ヒント 2

$b^{2}$ は $b$ と可換なので $a^{5}$ も $b$ と可換である。これと $ba b^{- 1} = a^{- 1}$ を組み合わせると $a$ の位数について何がわかるか。

ヒント 3

$a^{10} = 1$ と $⟨ a ⟩$ の正規性から $∣ G ∣ \leq 20$ 。等号を示すには、四元数 $A = cos \frac{π}{5} + i sin \frac{π}{5}$ , $B = j$ が関係式を満たすことを確かめるとよい。

答えと解説

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(20, 4)

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解説を読む

$K$ の基本群. $K$ は $0$ 胞体 $q$ 、 $1$ 胞体 $a$ （左辺）, $b$ （下辺）、 $2$ 胞体 $1$ 個の CW 複体である。正方形の境界を $(0, 0)$ から反時計回りにたどると
- 下辺: $b$
- 右辺 $(1, u)$ , $u : 0 \to 1$ : $(1, u) \sim (0, 1 - u)$ なので左辺を下向きにたどることになり $a^{- 1}$
- 上辺 $(s, 1)$ , $s : 1 \to 0$ : $(s, 1) \sim (s, 0)$ なので $b^{- 1}$
- 左辺 $(0, u)$ , $u : 1 \to 0$ : $a^{- 1}$

よって $π_{1} (K, q) = ⟨ a, b ∣ b a^{- 1} b^{- 1} a^{- 1} ⟩ = ⟨ a, b ∣ ba b^{- 1} = a^{- 1} ⟩$ （ $b a^{- 1} b^{- 1} = a$ の両辺の逆元をとった）。

$X$ の基本群. $2$ 胞体を貼ると関係式 $b^{2} a^{- 5}$ が加わり
$G := π_{1} (X, q) = ⟨ a, b ∣ ba b^{- 1} = a^{- 1}, b^{2} = a^{5} ⟩ .$

上からの評価. $b^{2}$ は $b$ と可換なので $a^{5} = b^{2}$ も $b$ と可換。一方 $b a^{5} b^{- 1} = (ba b^{- 1})^{5} = a^{- 5}$ なので $a^{5} = a^{- 5}$ 、すなわち $a^{10} = 1$ 。 $ba b^{- 1} = a^{- 1}$ と $b^{- 1} ab = a^{- 1}$ （前式を $b^{- 1}, b$ で挟む）より $N = ⟨ a ⟩$ は正規部分群で $∣ N ∣ \leq 10$ 。 $G / N$ は $b$ の像で生成され $b^{2} = a^{5} \in N$ なので $∣ G / N ∣ \leq 2$ 。よって $∣ G ∣ \leq 20$ 。

下からの評価. 四元数 $H$ （単位 $1, i, j, k$ , $ij = k$ ）の中で $A = cos \frac{π}{5} + i sin \frac{π}{5}$ , $B = j$ とおく。 $j i j^{- 1} = - i$ より $B A B^{- 1} = cos \frac{π}{5} - i sin \frac{π}{5} = A^{- 1}$ 、また $A^{5} = cos π + i sin π = - 1 = j^{2} = B^{2}$ 。よって $a \mapsto A$ , $b \mapsto B$ は準同型 $G \to H^{\times}$ を定める。整数 $m$ $(0 \leq m \leq 9)$ について、像には $A^{m} = cos \frac{mπ}{5} + i sin \frac{mπ}{5}$ の $10$ 個（ $R + R i$ に属し互いに異なる）と
$A^{m} B = cos \frac{mπ}{5} j + sin \frac{mπ}{5} ij = cos \frac{mπ}{5} j + sin \frac{mπ}{5} k$
の $10$ 個（ $R j + R k$ に属し互いに異なる）が含まれるので、像の位数は $20$ 以上。よって $∣ G ∣ \geq 20$ 。

以上より $∣ π_{1} (X, q) ∣ = 20$ 。

アーベル化. 加法的に書くと関係式は $2 a = 0$ （ $b + a - b + a = 0$ ）と $2 b - 5 a = 0$ 。
$π_{1} (X, q)^{ab} = Z^{2} / ⟨(2, 0), (- 5, 2)⟩, det (2 - 5 02) = 4$
（ $(a, b)$ の係数を並べた）なので位数は $4$ （実際 $2 a = 0$ より $5 a = a$ となるので $a = 2 b$ で、 $Z /4 Z$ に同型）。

答えは $(20, 4)$ 。

別解

正方形の境界を $(0, 0) \to (1, 0) \to (1, 1) \to (0, 1) \to (0, 0)$ の向きにたどる。下辺は $b$ 。右辺 $(1, u) = [(0, 1 - u)]$ を上向きにたどると $a (1 - u)$ なので $a^{- 1}$ 。上辺は右から左へ $b^{- 1}$ 。左辺は下向きで $a^{- 1}$ 。よって $K$ の基本群は
$π_{1} (K, q) = ⟨ a, b ∣ b a^{- 1} b^{- 1} a^{- 1} ⟩ = ⟨ a, b ∣ ba b^{- 1} = a^{- 1} ⟩ .$
2 胞体を境界 $b^{2} a^{- 5}$ に沿って貼ると、ファン・カンペンの定理により
$π_{1} (X, q) = ⟨ a, b ∣ ba b^{- 1} = a^{- 1}, b^{2} = a^{5} ⟩ .$

群の位数: $b^{2} = a^{5}$ より $b^{2} \in ⟨ a ⟩$ 。また $ba b^{- 1} = a^{- 1}$ から $b a^{5} b^{- 1} = a^{- 5}$ 。一方 $b a^{5} b^{- 1} = b b^{2} b^{- 1} = b^{2} = a^{5}$ 。したがって $a^{5} = a^{- 5}$ 、すなわち $a^{10} = 1$ 。 $⟨ a ⟩$ は正規部分群で、 $b^{2} \in ⟨ a ⟩$ より指数は高々 $2$ 。ゆえに位数は高々 $20$ 。
逆に、位数 $20$ の双曲型でない一般四元数型（二項二面体）群 $Dic_{5} = ⟨ a, b ∣ a^{10} = 1, b^{2} = a^{5}, ba b^{- 1} = a^{- 1} ⟩$ は上の 2 つの関係式を満たす（ $a^{10} = 1$ から $b^{2} = a^{5}$ が $b$ の共役で保たれ矛盾がない）ので、位数 $20$ の商が存在する。よって位数はちょうど $20$ 。

アーベル化: 関係式は $ba b^{- 1} = a^{- 1}$ から $2 a = 0$ 、 $b^{2} = a^{5}$ から $2 b - 5 a = 0$ 。 $Z^{2}$ を関係行列 $(2 - 5 02)$ の行で割るので、位数は行列式の絶対値 $∣4 - 0∣ = 4$ （実際 $Z /4$ ）。

検算: $Dic_{5}$ の交換子群は $⟨ a^{2} ⟩$ （位数 5）で、 $20/5 = 4$ と一致する。

答え: $(20, 4)$ 。

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