代数的位相幾何の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学代数的位相幾何

$n$ を $2$ 以上の整数とする。CW 複体 $X_{n}$ を次のように構成する。

$0$ 胞体は $1$ 個の点 $v$ のみ
$1$ 胞体は $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ の $n$ 個（各 $x_{i}$ は $v$ を基点とするループとして接着する）
$2$ 胞体は $D_{1}, D_{2}, \dots, D_{n}$ の $n$ 個で、 $D_{i}$ の境界を $1$ 骨格 $⋁_{j = 1}^{n} S^{1}$ の語 $x_{i} x_{i} x_{i + 1}$ が表すループに沿って接着する。ただし添字は $n$ を法として考え、 $x_{n + 1} = x_{1}$ とする

整数係数ホモロジー群 $H_{1} (X_{n}; Z)$ は有限群になる。その位数を $n$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

CW 複体の胞体ホモロジー（説明と入口の問題）
行列式（説明と入口の問題）
整数行列の単因子（スミス標準形）（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$0$ 胞体が $1$ 個なので $\partial_{1} = 0$ となり、 $H_{1} (X_{n})$ は $\partial_{2} : Z^{n} \to Z^{n}$ の余核になります。余核が有限なら、その位数は表現行列の行列式の絶対値です。

ヒント 2

$2$ 胞体の細胞的境界は接着語を可換化したものです。 $\partial_{2} (D_{i}) = 2 x_{i} + x_{i + 1}$ となり、表現行列は「対角が $2$ 、その一つ下（と右上の隅）が $1$ 」の巡回型の行列になります。

ヒント 3

行列式を置換の和で展開すると、 $0$ でない項を与える置換は各 $j$ を $j$ か $j + 1$ に送るものに限られ、それは恒等置換と長さ $n$ の巡回置換 $j \mapsto j + 1$ の $2$ つだけです。それぞれの符号と成分の積を求めましょう。

答えと解説

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2^{n} - (- 1)^{n}

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解説を読む

細胞的ホモロジーで計算する。細胞的鎖複体は
$0 \to C_{2} = Z^{n} \partial_{2} C_{1} = Z^{n} \partial_{1} C_{0} = Z \to 0$
で、 $C_{1}$ の基底を $x_{1}, \dots, x_{n}$ 、 $C_{2}$ の基底を $D_{1}, \dots, D_{n}$ とする。

$\partial_{1}$ について. $0$ 胞体が $1$ 個だけなので、各 $1$ 胞体の両端は同じ点 $v$ であり $\partial_{1} (x_{i}) = v - v = 0$ 。よって $\partial_{1} = 0$ で、 $H_{1} (X_{n}) = C_{1} / Im \partial_{2} = Coker \partial_{2}$ となる。

$\partial_{2}$ について. $2$ 胞体の細胞的境界は、接着語を可換化して各 $1$ 胞体の指数の和をとったものである。語 $x_{i} x_{i} x_{i + 1}$ では $x_{i}$ が $2$ 回、 $x_{i + 1}$ が $1$ 回現れるので
$\partial_{2} (D_{i}) = 2 x_{i} + x_{i + 1} (x_{n + 1} = x_{1}) .$
したがって $\partial_{2}$ の表現行列 $M$ （第 $i$ 列が $\partial_{2} (D_{i})$ の係数）は、対角成分が $2$ 、成分 $(i + 1, i)$ （ $i = 1, \dots, n - 1$ ）と $(1, n)$ が $1$ 、ほかが $0$ の $n$ 次正方行列である。

行列式の計算. 行列式の定義 $det M = \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) \prod_{j} M_{σ (j), j}$ において、積が $0$ でないためには各 $j$ について $σ (j) \in {j, j + 1}$ （ $n + 1$ は $1$ と読む）でなければならない。ある $j$ で $σ (j) = j + 1$ なら、 $j + 1$ は既に像として使われるので $σ (j + 1) = j + 2$ となり、これを繰り返すとすべての $j$ で $σ (j) = j + 1$ になる。よって寄与するのは
- 恒等置換： $sgn = 1$ 、積は $2^{n}$
- 巡回置換 $j \mapsto j + 1$ （長さ $n$ の巡回置換）： $sgn = (- 1)^{n - 1}$ 、積は $1^{n} = 1$

の $2$ つだけで、
$det M = 2^{n} + (- 1)^{n - 1} = 2^{n} - (- 1)^{n} .$
$n \geq 2$ のとき $2^{n} - (- 1)^{n} \geq 3 > 0$ なので $det M \neq = 0$ 。

結論. $det M \neq = 0$ より $\partial_{2}$ は単射（よって $H_{2} (X_{n}) = Ker \partial_{2} = 0$ ）で、 $Coker \partial_{2}$ は有限群になる。単因子標準形 $M \sim diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ を考えると $Coker \partial_{2} ≅ ⨁_{k} Z / d_{k}$ で、その位数は $∣ d_{1} \dots d_{n} ∣ = ∣ det M ∣$ である。したがって $b_{1} (X_{n}) = 0$ であり
$∣ H_{1} (X_{n}; Z) ∣ = 2^{n} - (- 1)^{n} .$
（確認： $n = 2$ では $M = (2112)$ 、 $det M = 3 = 2^{2} - 1$ 。 $n = 3$ では $det M = 9 = 2^{3} + 1$ 。）

別解

$X_{n}$ は 1 点・ $n$ 個の 1 胞体・ $n$ 個の 2 胞体をもつ CW 複体なので、胞体チェイン複体は $0 \to Z^{n} \partial_{2} Z^{n} 0 Z \to 0$ である。 $\partial_{1} = 0$ より $H_{1} (X_{n}) = Z^{n} / im \partial_{2}$ 。 $D_{i}$ の境界の語 $x_{i} x_{i} x_{i + 1}$ をアーベル化すると $2 e_{i} + e_{i + 1}$ なので、 $\partial_{2}$ の行列は巡回行列 $A = 2 I + P$ （ $P$ は巡回置換行列）である。 $det A$ が有限群 $H_{1}$ の位数（ $∣ det A ∣ \neq = 0$ のとき）。 $P$ の固有値は 1 の $n$ 乗根 $ω$ すべてで、 $det A = \prod_{ω^{n} = 1} (2 + ω)$ 。 $\prod_{ω} (x - ω) = x^{n} - 1$ に $x = - 2$ を代入すると $\prod (- 2 - ω) = (- 2)^{n} - 1$ 、よって $\prod (2 + ω) = (- 1)^{n} ((- 2)^{n} - 1) = 2^{n} - (- 1)^{n}$ 。これは正なので位数は $2^{n} - (- 1)^{n}$ 。検算: $n = 2$ では行列 $(2112)$ の行列式 $3 = 2^{2} - 1$ 。 $n = 3$ では $det 201120012 = 8 + 1 = 9 = 2^{3} + 1$ 。一致する。

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