代数的位相幾何の問題

トーラス $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の同相写像 $f:T^2\to T^2$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$$
を用いて $f([v])=[Av]$ と定める。$f$ の写像トーラス
$$M=T^2\times [0,1]/((x,0)\sim (f(x),1))$$
を考え、射影 $T^2\times [0,1]\to [0,1]$ から誘導される写像 $q:M\to S^1=[0,1]/(0\sim 1)$ が基本群に誘導する全射準同型を $\phi :{\pi }_1(M)\to {\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ とする。

$p:Y\to M$ を、部分群 ${\phi }^{-1}(3\mathbb{Z})\subset {\pi }_1(M)$ に対応する連結な被覆空間とする（$p_{\ast }{\pi }_1(Y)={\phi }^{-1}(3\mathbb{Z})$）。${\pi }_1(Y)$ のアーベル化 ${\pi }_1(Y{)}^{\mathrm{ab}}$ のねじれ部分群（有限位数の元全体のなす部分群）の位数を求めよ。

クラインの壺 $K$ を、正方形 $[0,1{]}^2$ において
$$(s,0)\sim (s,1),(0,u)\sim (1,1-u)(s,u\in [0,1])$$
と同一視して得られる空間とする。正方形の $4$ 頂点はすべて $1$ 点 $q\in K$ に移る。$q$ を基点とする閉道 $a,b$ を
$$a(u)=[(0,u)],b(s)=[(s,0)](0\le s,u\le 1)$$
で定める。$K$ に $2$ 胞体 $D^2$ を、その境界を閉道 $b^2{a}^{-5}$（$b$ を $2$ 回たどったあと $a$ を逆向きに $5$ 回たどる閉道）に沿って貼り付けて得られる空間を $X$ とする。

基本群 ${\pi }_1(X,q)$ の位数と、そのアーベル化 ${\pi }_1(X,q{)}^{\mathrm{ab}}$ の位数を、この順に組で求めよ。

$K$ をクラインの壺、$\mathbb{R}{P}^2$ を実射影平面とし、積空間 $X=K\times \mathbb{R}{P}^2$ を考える。正の整数 $n$ に対して、整数係数ホモロジー群 $H_n(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群（有限位数の元全体のなす部分群）の位数を $t_n$ とする（ねじれ部分群が自明なら $t_n=1$ とする）。組 $(t_1,t_2,t_3)$ を求めよ。

トーラスを $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とする。整数行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
を用いて、連続写像 $f,g:T^2\to T^2$ を $f([v])=[Av]$, $g([v])=[Bv]$ $(v\in {\mathbb{R}}^2)$ で定める。

円柱 $T^2\times [0,1]$ と、もう $1$ つのトーラス $T^2$（これを $Y$ と書く）の直和空間 $(T^2\times [0,1])\bigsqcup Y$ を考える。円柱の両端をどちらも同じ $1$ つのトーラス $Y$ に、次の同一視で貼り付ける。
$$(p,0)\sim f(p)\in Y,(p,1)\sim g(p)\in Y(p\in T^2)$$
こうして得られる商空間を $X$ とする。

整数係数ホモロジー群 $H_1(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分（有限位数の元全体のなす部分群）の位数と、$H_2(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分の位数を、この順に組で求めよ。

CW 複体 $X$ を次のように構成する。

- $0$ 胞体は $1$ 個の点 $v$ のみ
- $1$ 胞体は $a,b,c$ の $3$ 個（いずれも両端が $v$ に貼られ、$X^{(1)}$ は $3$ つの円周の一点和で、$a,b,c$ は $v$ を基点とするループとして向きが定められている）
- $2$ 胞体は $e_1,e_2,e_3$ の $3$ 個で、それぞれ境界の円周を次の語に沿って $X^{(1)}$ に貼り付ける（$x^{-1}$ はループ $x$ を逆向きにたどることを表す）
$$e_1:a^{2}ba{b}^{-1}{c}^2,e_2:b^{2}c{a}^{-1}{b}^{4}c,e_3:cabacb$$
- $3$ 次元以上の胞体はない

$H_1(X;\mathbb{Z})$ の位数を $N$、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 係数のホモロジー群 $H_2(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ の $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 上の次元を $d_2$、$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 係数のホモロジー群 $H_2(X;\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ の $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 上の次元を $d_3$ とする。組 $(N,d_2,d_3)$ を求めよ。