代数的位相幾何の問題

1. 写像トーラスの基本群. $f$ は基点 $[0]$ を固定し、$f_{\ast }:{\pi }_1(T^2)={\mathbb{Z}}^2\to {\mathbb{Z}}^2$ は $A$ で与えられる。写像トーラス $M$ はファイバー $T^2$、底空間 $S^1$ のファイバー束であり、ホモトピー完全系列（またはファン・カンペンの定理）により
$${\pi }_1(M)\cong {\mathbb{Z}}^2{⋊}_A\mathbb{Z}=⟨{\mathbb{Z}}^2,t\mid tv{t}^{-1}=Av(v\in {\mathbb{Z}}^2)⟩$$
となる（向きの取り方によっては $A^{-1}$ になるが、以下の結論は変わらない）。ここで $t$ は基点の $[0,1]$ 方向の軌跡が閉じてできるループで、$\phi (t)=1$、$\phi {|}_{{\mathbb{Z}}^2}=0$ である。

2. 被覆 $Y$ の基本群. ${\phi }^{-1}(3\mathbb{Z})$ は ${\mathbb{Z}}^2$ と $t^3$ で生成され、$t^{3}v{t}^{-3}=A^{3}v$ だから
$${\pi }_1(Y)\cong {\phi }^{-1}(3\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2{⋊}_{A^3}\mathbb{Z}.$$
（幾何的には $Y$ は $q$ を $S^1$ の $3$ 重被覆で引き戻したもので、$f^3$ の写像トーラスである。）

3. アーベル化. 一般に $G={\mathbb{Z}}^2{⋊}_B\mathbb{Z}$ では交換子 $tv{t}^{-1}{v}^{-1}=(B-I)v$ を $0$ とおくので
$$G^{\mathrm{ab}}\cong {\mathbb{Z}}^2/(B-I){\mathbb{Z}}^2\oplus \mathbb{Z}.$$
$\det (B-I)\ne 0$ ならば第 $1$ 成分は位数 $|\det (B-I)|$ の有限群であり、これがちょうどねじれ部分群である（第 $2$ 成分 $\mathbb{Z}$ はねじれをもたない）。

4. 計算.
$$A^2=\left(\begin{array}{cc}34& 21\\ 21& 13\end{array}\right),A^3=A^{2}A=\left(\begin{array}{cc}170+63& 102+42\\ 105+39& 63+26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}233& 144\\ 144& 89\end{array}\right).$$
よって
$$\det (A^3-I)=\det \left(\begin{array}{cc}232& 144\\ 144& 88\end{array}\right)=232\cdot 88-144^2=20416-20736=-320.$$
（検算: $\det A=1$ より $\det (A^3-I)=1-\mathrm{tr}{A}^3+1=2-322=-320$。）

したがって ${\pi }_1(Y{)}^{\mathrm{ab}}\cong \mathbb{Z}\oplus {\mathbb{Z}}^2/(A^3-I){\mathbb{Z}}^2$ で、ねじれ部分群の位数は $320$ である（成分の最大公約数が $8$ なので、構造は $\mathbb{Z}/8\oplus \mathbb{Z}/40$）。

答え: $320$

${\phi }^{-1}(3\mathbb{Z})$ に対応する被覆 $Y$ は、$f^3$ の写像トーラスである（$S^1$ の 3 重巡回被覆を $M$ に引き戻したもの）。したがって ${\pi }_1(Y)\cong {\mathbb{Z}}^2{⋊}_{A^3}\mathbb{Z}$ であり、そのアーベル化は $\mathbb{Z}\oplus \mathrm{coker}(A^3-I)$ となる。ここで $\mathrm{coker}(A^3-I)={\mathbb{Z}}^2/(A^3-I){\mathbb{Z}}^2$ である。

$\det A=10-9=1$、$\mathrm{tr}A=7$ である。したがって $\mathrm{tr}(A^3)=7^3-3\cdot 7=322$ である。

$\det A^3=1$ なので、$\det (A^3-I)=\det A^3-\mathrm{tr}{A}^3+1=2-322=-320$ となる。これは 0 でないので $\mathrm{coker}(A^3-I)$ は有限群で、位数は $320$ である。$\mathbb{Z}$ の部分は自由なので、ねじれ部分群は $\mathrm{coker}(A^3-I)$ に等しく、位数は $320$ である。

検算：$A^2=\left(\begin{array}{cc}34& 21\\ 21& 13\end{array}\right)$、$A^3=\left(\begin{array}{cc}209& 129\\ 129& 79\end{array}\right)$。$\mathrm{tr}{A}^3=209+79=288$ ではなく、$A^3=A^{2}A$ を計算し直す。$34\cdot 5+21\cdot 3=233$、$34\cdot 3+21\cdot 2=144$、$21\cdot 3+13\cdot 2=89$ より $A^3=\left(\begin{array}{cc}233& 144\\ 144& 89\end{array}\right)$ となる。トレースは $233+89=322$ で一致する。$\det (A^3-I)=232\cdot 88-144^2=20416-20736=-320$ で、絶対値 $320$ が確かめられた。