代数的位相幾何の問題

1. $\phi ,\psi$ の写像度. $\phi (z)=z^3$ は正則写像で、一般の点の逆像は $3$ 点、各点で局所的に向きを保つので $\mathrm{deg}\phi =3$。

$\psi$ は $z\mapsto z^2$（写像度 $2$）と、写像 $a(w)=-1/\overline{w}$ の合成 $\psi =a\circ (z\mapsto z^2)$ である。$a$ は立体射影で見ると $S^2$ の対蹠写像であり、$S^2\subset {\mathbb{R}}^3$ 上の $-\mathrm{id}$ の制限なので写像度は $(-1{)}^3=-1$。（あるいは $w\mapsto \overline{w}$ が写像度 $-1$、$w\mapsto -1/w$ が正則な同相で写像度 $1$ であることからも分かる。）よって
$$\mathrm{deg}\psi =(-1)\cdot 2=-2.$$

2. ホモロジー. キュネットの公式より
$$H_0(X;\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q},H_2(X;\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}a\oplus \mathbb{Q}b,H_4(X;\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q},$$
その他は $0$。ここで $a=[S^2\times \{y_0\}]$, $b=[\{x_0\}\times S^2]$ である。

- $H_0$: $X$ は連結なので $f_{\ast }=\mathrm{id}$、トレースは $1$。
- $H_2$: $i_1(x)=(x,y_0)$ とすると $f\circ i_1(x)=(\phi (y_0),\psi (x))$ で、これは $x\mapsto \psi (x)$ と第 $2$ 成分への包含の合成である。したがって $f_{\ast }(a)=(\mathrm{deg}\psi )b=-2b$。同様に $i_2(y)=(x_0,y)$ について $f\circ i_2(y)=(\phi (y),\psi (x_0))$ なので $f_{\ast }(b)=(\mathrm{deg}\phi )a=3a$。基底 $a,b$ に関する表現行列は
$$\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -2& 0\end{array}\right)$$
で、トレースは $0$。
- $H_4$: $f_{\ast }$ は $\mathrm{deg}f$ 倍。$\alpha ={\mathrm{pr}}_1^{\ast }\omega$, $\beta ={\mathrm{pr}}_2^{\ast }\omega$（$\omega$ は $H^2(S^2)$ の向きの生成元）とおくと、${\mathrm{pr}}_1\circ f=\phi \circ {\mathrm{pr}}_2$, ${\mathrm{pr}}_2\circ f=\psi \circ {\mathrm{pr}}_1$ より
$$f^{\ast }\alpha =3\beta ,f^{\ast }\beta =-2\alpha .$$
$H^4(X)$ の向きの生成元は $\alpha ⌣\beta$ で、次数 $2$ の類どうしは可換（$\beta ⌣\alpha =(-1{)}^{2\cdot 2}\alpha ⌣\beta$）なので
$$f^{\ast }(\alpha ⌣\beta )=(3\beta )⌣(-2\alpha )=-6\alpha ⌣\beta .$$
よって $\mathrm{deg}f=-6$。（$f=\tau \circ (\psi \times \phi )$, $\tau (u,v)=(v,u)$ と分解し、$\mathrm{deg}\tau =(-1{)}^{2\cdot 2}=1$, $\mathrm{deg}(\psi \times \phi )=(-2)\cdot 3$ としても同じ。）

3. レフシェッツ数. 偶数次のみ寄与するので
$$L(f)=1+0+(-6)=-5.$$

$H_{\ast }(X;\mathbb{Q})$ は $H_0=\mathbb{Q}$, $H_2=\mathbb{Q}a\oplus \mathbb{Q}b$, $H_4=\mathbb{Q}[X]$ で、他は $0$。ここで $a=[S^2\times \mathrm{pt}]$, $b=[\mathrm{pt}\times S^2]$。

写像度: $\phi (z)=z^3$ は $\mathrm{deg}\phi =3$。$\psi =(w\mapsto -1/w)\circ (z\mapsto {\overline{z}}^2)$ で、$w\mapsto -1/w$ は正則な全単射なので次数 $1$、$z\mapsto {\overline{z}}^2$ は複素共役（次数 $-1$）と $z\mapsto z^2$（次数 $2$）の合成で次数 $-2$。よって $\mathrm{deg}\psi =-2$。

$H_0$: $f_{\ast }=\mathrm{id}$ なのでトレースは $1$。

$H_2$: $a$ を $(x,y_0)$ ($x$ が動く) で表すと $f(x,y_0)=(\phi (y_0),\psi (x))$ で第 2 成分だけが動くから $f_{\ast }a=\mathrm{deg}\psi \cdot b=-2b$。同様に $b$ を $(x_0,y)$ で表すと $f(x_0,y)=(\phi (y),\psi (x_0))$ より $f_{\ast }b=\mathrm{deg}\phi \cdot a=3a$。行列は $\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -2& 0\end{array}\right)$ でトレースは $0$。

$H_4$: $f=(\phi \times \psi )\circ \tau$ ($\tau (x,y)=(y,x)$ は入れ替え)。$\tau$ の次数は $(-1{)}^{2\cdot 2}=+1$、$\phi \times \psi$ の次数は $3\cdot (-2)=-6$。よって $f_{\ast }[X]=-6[X]$、トレースは $-6$。

$L(f)=1-0\cdot (\dots )+0+\dots$ すなわち $L(f)=1+0+(-6)=-5$。

検算: $f^2(x,y)=(\phi \psi (x),\psi \phi (y))$ の $H_2$ でのトレースは $\mathrm{deg}\phi \mathrm{deg}\psi \cdot 2=-12$ であり、行列の 2 乗 $\mathrm{diag}(-6,-6)$ のトレース $-12$ と一致する。