球面の間の写像の写像度

連続写像 $f : S^{n} \to S^{n}$ の写像度を、 $f_{*} : H_{n} (S^{n}) ≅ Z \to Z$ が掛ける整数として求められる。 $S^{1}$ 上の $z \mapsto z^{k}$ が $k$ 、鏡映が $- 1$ 、対蹠写像が $(- 1)^{n + 1}$ 、合成で写像度が積になること、正則値の逆像の局所写像度 $sign det d f_{x}$ の和として求められることを使える（例: $S^{2}$ の対蹠写像の写像度は $- 1$ ）。トーラス $T^{n} = R^{n} / Z^{n}$ の線形写像 $f_{A}$ では $f_{*}$ が $H_{1}$ に $A$ で作用し、写像度が $det A$ であることを使える

前提

CW 複体の胞体ホモロジー（大学院数学代数的位相幾何）

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算数中学高校大学大学院

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CW 複体の胞体ホモロジー（大学院数学代数的位相幾何）

説明

連続写像 $f : S^{n} \to S^{n}$ が球面を「符号付きで何回覆うか」を表す整数、写像度 $de g f$ を求められるようになります。写像度はホモロジーで定義されるので、 $f$ を連続的に変形しても変わらず、合成すれば積になります。基本的な写像（ $z \mapsto z^{k}$ 、鏡映、対蹠写像）の値と、正則値の逆像を符号付きで数える方法を組み合わせると、多くの写像の写像度が計算できます。トーラス $T^{n} = R^{n} / Z^{n}$ の整数行列による写像にも同じ考え方が使えます。

なぜそうしてよいのか

$H_{n} (S^{n}) ≅ Z$ なので、 $f$ が引き起こす準同型 $f_{*} : Z \to Z$ は、ある整数 $d$ を掛ける写像です（ $Z$ から $Z$ への準同型は $1$ の行き先 $d$ で決まります）。この $d$ を $de g f$ と定めます。 $(g \circ f)_{*} = g_{*} \circ f_{*}$ なので $de g (g \circ f) = de g g \cdot de g f$ 、恒等写像は $1$ です。

鏡映 $r (x_{1}, \dots, x_{n + 1}) = (x_{1}, \dots, x_{n}, - x_{n + 1})$ は、 $S^{n}$ を赤道 $S^{n - 1}$ と上下の半球 $e_{+}, e_{-}$ （ $2$ つの $n$ 胞体）に分ける胞体分割で $e_{+}$ と $e_{-}$ を入れ替えます。 $e_{-}$ の向きを $r (e_{+})$ で定めると、 $r$ は赤道を動かさないので $\partial e_{+} = \partial e_{-}$ となり、 $H_{n}$ の生成元は $e_{+} - e_{-}$ です。 $r$ はこれを $e_{-} - e_{+} = - (e_{+} - e_{-})$ に写すので $de g r = - 1$ 。どの座標の符号を反転しても、座標の入れ替えで同じ計算になり $- 1$ です。対蹠写像 $x \mapsto - x$ は $n + 1$ 個の座標の符号反転の合成なので $(- 1)^{n + 1}$ です。 $S^{1}$ の $z \mapsto z^{k}$ （ $k \geq 1$ ）は、 $S^{1}$ を $k$ 個の頂点 $e^{2 π ij / k}$ と $k$ 本の弧に分け、行き先は頂点 $1$ 個と弧 $1$ 本の分割にすると、各弧が全体を同じ向きに $1$ 周するので、 $H_{1}$ の生成元（弧の和）が $k$ 倍され、 $de g = k$ です。

より一般に、 $f$ が滑らかで、点 $y$ が正則値（逆像の各点 $x$ で微分 $d f_{x}$ が可逆）なら、 $f^{- 1} (y)$ は有限集合で、各点の近くで $f$ は向きを保つ（ $det d f_{x} > 0$ ）か反転する（ $det d f_{x} < 0$ ）局所的な同相になります。 $H_{n}$ の生成元を「球面を $1$ 回覆うもの」と思えば、 $y$ の上に何枚のシートが符号付きで重なるかが写像度で、 $de g f = \sum_{x \in f^{- 1} (y)} sign det d f_{x}$ が成り立ちます。トーラスの写像 $f_{A} ([v]) = [A v]$ （ $A$ は $n$ 次整数行列）では、座標方向のループ $e_{i}$ が $A e_{i}$ に写るので $f_{*}$ は $H_{1} (T^{n}) ≅ Z^{n}$ に行列 $A$ で作用し、 $det A \neq = 0$ なら各点の逆像は $∣ det A ∣$ 個、どこでも $df = A$ なので $de g f_{A} = ∣ det A ∣ \cdot sign det A = det A$ です（ $det A = 0$ なら像が $T^{n}$ 全体にならず $0$ ）。

手順

写像を、写像度がわかっている基本的な写像（ $z \mapsto z^{k}$ で $k$ 、座標の符号反転 $1$ つで $- 1$ 、対蹠写像で $(- 1)^{n + 1}$ 、恒等写像で $1$ ）の合成として表せるか調べる
合成で表せたら、写像度を掛け合わせる: $de g (g \circ f) = de g g \cdot de g f$ 。連続的に変形（ホモトピー）できる写像は同じ写像度をもつ
基本的な写像に分けにくいときは、正則値 $y$ を 1 つ選び、逆像 $f^{- 1} (y) = {x_{1}, \dots, x_{m}}$ を求める
各 $x_{i}$ で $sign det d f_{x_{i}}$ （向きを保てば $+ 1$ 、反転すれば $- 1$ ）を調べ、 $de g f = \sum_{i} sign det d f_{x_{i}}$ を計算する
トーラスの線形写像 $f_{A} : T^{n} \to T^{n}$ なら、 $f_{*}$ が $H_{1}$ に $A$ で作用することから $de g f_{A} = det A$ とする

例題

$S^{3} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in R^{4} : x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 1}$ 上の写像 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- x_{1}, - x_{2}, - x_{3}, x_{4})$ の写像度を求めよ。

例題の解答

手順 1: $r_{i}$ を第 $i$ 座標の符号だけを反転する写像とすると、 $f = r_{1} \circ r_{2} \circ r_{3}$ である。各 $r_{i}$ は鏡映なので $de g r_{i} = - 1$ 。
手順 2: 合成の写像度は積なので
$de g f = de g r_{1} \cdot de g r_{2} \cdot de g r_{3} = (- 1)^{3} = - 1.$
（検算: 手順 3・4 で正則値 $y = (0, 0, 0, 1)$ をとると逆像は $x = (0, 0, 0, 1)$ の $1$ 点。そこでの接空間は $x_{1} x_{2} x_{3}$ 方向で、 $d f_{x}$ は $diag (- 1, - 1, - 1)$ 、 $det = - 1$ なので和は $- 1$ で一致する。）

答え: $- 1$

よくある誤り

対蹠写像の写像度を $(- 1)^{n}$ としてしまう誤り。 $S^{2}$ の対蹠写像を $(- 1)^{2} = 1$ とするのは誤り。 $x \mapsto - x$ は $n + 1$ 個の座標を反転するので、正しくは $(- 1)^{n + 1}$ で、 $S^{2}$ では $- 1$ 、 $S^{1}$ では $(- 1)^{2} = 1$ （実際 $S^{1}$ の対蹠写像は $π$ 回転で恒等写像に変形できる）
合成の写像度を和にしてしまう誤り。 $S^{1}$ 上で $z \mapsto z^{2}$ のあとに $z \mapsto z^{3}$ をした写像 $z \mapsto z^{6}$ を $2 + 3 = 5$ とするのは誤り。正しくは $2 \cdot 3 = 6$
正則値の逆像の個数をそのまま写像度にしてしまう誤り。 $S^{1}$ 上の $f (z) = z ˉ^{3}$ では $y = 1$ の逆像は $3$ 点だが、各点で向きを反転する（ $sign det df = - 1$ ）ので、正しくは $de g f = - 3$ 。また逆像が $2$ 点で符号が $+ 1, - 1$ なら写像度は $0$ になる
トーラスの線形写像の写像度を $∣ det A ∣$ やトレースにしてしまう誤り。 $A = (23 1 - 1)$ の $f_{A} : T^{2} \to T^{2}$ を $5$ や $tr A = 1$ とするのは誤り。正しくは $de g f_{A} = det A = - 2 - 3 = - 5$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$S^{1} = {z \in C ∣ ∣ z ∣ = 1}$ とし、連続写像 $f : S^{1} \to S^{1}$ を $f (z) = z^{4}$ （ $z$ は $z$ の複素共役）で定める。 $f$ の写像度 $de g f$ を求めよ。ただし写像度は、 $f_{*} : H_{1} (S^{1}) ≅ Z \to H_{1} (S^{1}) ≅ Z$ が掛ける整数とする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

レフシェッツ数と不動点（大学院数学代数的位相幾何）