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代数的位相幾何の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学代数的位相幾何

$X = S^{2} \times S^{2}$ とし、 $X$ には積の向きを与える。連続写像 $f : X \to X$ の写像度が $12$ であるとする。すなわち、 $H_{4} (X; Z) ≅ Z$ の基本類 $[X]$ に対して $f_{*} [X] = 12 [X]$ が成り立つとする。このような連続写像 $f$ 全体を考えるとき、 $f$ のレフシェッツ数
$L (f) = k \geq 0 \sum (- 1)^{k} tr (f_{*} : H_{k} (X; Q) \to H_{k} (X; Q))$
がとりうる値をすべて求めよ。

この問題で使うもの

レフシェッツ数と不動点（説明と入口の問題）
球面の間の写像の写像度（説明と入口の問題）
コホモロジー環とカップ積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（135 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$f$ が整数係数コホモロジー環 $H^{*} (S^{2} \times S^{2}; Z)$ に誘導する環準同型を調べ、 $H^{2}$ 上の作用を $2 \times 2$ 整数行列で表してみよう。

ヒント 2

$f^{*} x = a x + cy$ , $f^{*} y = b x + d y$ とおくと、 $x^{2} = y^{2} = 0$ から $a c = 0$ と $b d = 0$ が従う。また $de g f = a d + b c$ である。

ヒント 3

$L (f) = 1 + (a + d) + de g f = 13 + a + d$ となる。 $a c = b d = 0$ と $a d + b c = 12$ から、 $b = c = 0$ かつ $a d = 12$ の場合と、 $a = d = 0$ かつ $b c = 12$ の場合だけが残る。それぞれが実際の写像で実現できるかも確かめよう。

答えと解説

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{0, 5, 6, 13, 20, 21, 26}

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解説を読む

コホモロジー環。 $α \in H^{2} (S^{2}; Z)$ を生成元とし、射影 $p_{1}, p_{2} : X \to S^{2}$ を用いて $x = p_{1}^{*} α$ , $y = p_{2}^{*} α$ とおく。キュネットの公式より
$H^{*} (X; Z) = Z [x, y] / (x^{2}, y^{2}), H^{2} = Z x \oplus Z y, H^{4} = Z x y$
である。 $x y$ は積の向きの基本類に対応する生成元であり、次数が偶数なので $y x = (- 1)^{2 \cdot 2} x y = x y$ が成り立つ。

$f^{*}$ の形。 整数 $a, b, c, d$ を用いて
$f^{*} x = a x + cy, f^{*} y = b x + d y$
と書く。 $f^{*}$ は環準同型で $x^{2} = 0$ だから
$0 = f^{*} (x^{2}) = (a x + cy)^{2} = a^{2} x^{2} + 2 a c x y + c^{2} y^{2} = 2 a c x y$
となり、 $a c = 0$ を得る。同様に $y^{2} = 0$ から $b d = 0$ を得る。さらに
$f^{*} (x y) = (a x + cy) (b x + d y) = (a d + b c) x y$
である。 $H^{4}$ への作用は写像度倍なので $de g f = a d + b c = 12$ となる。

レフシェッツ数。 有理係数では、ホモロジーへの作用 $f_{*}$ とコホモロジーへの作用 $f^{*}$ は互いに双対であり、トレースが等しい。 $H^{0}$ のトレースは $1$ 、 $H^{2}$ のトレースは $a + d$ 、 $H^{4}$ のトレースは $12$ 、奇数次は $0$ だから
$L (f) = 1 + (a + d) + 12 = 13 + a + d$
である。

場合分け。 $a c = 0$ かつ $b d = 0$ なので、次の $4$ つの場合のいずれかになる。
- $a = 0$ かつ $b = 0$ のとき： $a d + b c = 0 \neq = 12$ となり不適。
- $c = 0$ かつ $d = 0$ のとき：同様に $a d + b c = 0$ となり不適。
- $b = c = 0$ のとき： $a d = 12$ である。 $(a, d)$ の和 $a + d$ は $\pm 13$ ( $1 \cdot 12$ )、 $\pm 8$ ( $2 \cdot 6$ )、 $\pm 7$ ( $3 \cdot 4$ ) のいずれかで、各組は順序を入れ替えても和は同じである。よって $L = 13 + a + d \in {26, 0, 21, 5, 20, 6}$ となる。
- $a = d = 0$ のとき： $b c = 12$ であり、 $L = 13$ となる。

実現可能性。 次数 $k$ の写像 $g_{k} : S^{2} \to S^{2}$ は任意の整数 $k$ に対して存在する。
- $f = g_{a} \times g_{d}$ とすると $f^{*} x = a x$ , $f^{*} y = d y$ となり、 $a d = 12$ を満たす任意の $(a, d)$ が実現される。
- $f (p, q) = (g_{c} (q), g_{b} (p))$ とすると $f^{*} x = p_{2}^{*} g_{c}^{*} α = cy$ , $f^{*} y = b x$ となり、 $a = d = 0$ かつ $b c = 12$ の場合が実現される。

以上より、とりうる値の集合は
${0, 5, 6, 13, 20, 21, 26}$
である。

別解

$H_{0} = Q$ 、 $H_{2} = Q^{2}$ 、 $H_{4} = Q$ であり、奇数次のホモロジーは $0$ である。 $a, b$ を2つの $S^{2}$ 因子の生成元（コホモロジー類）とすると、 $a^{2} = b^{2} = 0$ 、 $ab$ は $H^{4}$ の生成元である。 $f^{*} a = p a + q b, f^{*} b = r a + s b$ （ $p, q, r, s \in Z$ ）とおく。

条件を整理する。 $(f^{*} a)^{2} = 2 pq ab = 0$ より $pq = 0$ 。同様に $(f^{*} b)^{2} = 0$ より $r s = 0$ 。写像度は $f^{*} (ab) = (p s + q r) ab$ より $p s + q r = 12$ 。

場合分けする。
- $p = 0$ のとき、 $q r = 12$ なので $q \neq = 0, r \neq = 0$ 。よって $s = 0$ で、 $H^{2}$ への作用は反対角行列となり、トレースは $0$ 。
- $q = 0$ のとき、 $p s = 12$ で $p \neq = 0, s \neq = 0$ 。よって $r = 0$ で、行列は対角行列となり、トレースは $p + s$ 。整数解 $p s = 12$ より $p + s \in {\pm 7, \pm 8, \pm 13}$ （ $(3, 4), (2, 6), (1, 12)$ とその符号違い）。

したがって $tr (f_{*} ∣ H_{2}) \in {0, \pm 7, \pm 8, \pm 13}$ 。ホモロジー側の $f_{*}$ はコホモロジー側の $f^{*}$ の転置なのでトレースは同じである。

$L (f) = 1 + tr (f_{*} ∣ H_{2}) + 12 = 13 + tr$ である。

すべて実現可能である。
- 対角型は、次数 $p$ と $s$ の写像の積 $S^{2} \times S^{2} \to S^{2} \times S^{2}$ で得られる。
- 反対角型は、因子の入れ替え（偶数次元球面なので次数 $+ 1$ ）と次数 $q, r$ の写像の積との合成で得られる。

以上より $L (f) \in {13, 20, 6, 21, 5, 26, 0}$ である。

検算： $(p, s) = (3, 4)$ のとき $L = 1 + 7 + 12 = 20$ 。 $(p, s) = (- 1, - 12)$ のとき $L = 1 - 13 + 12 = 0$ 。

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