代数的位相幾何の問題

$X=S^2\times S^2$ とし、$X$ には積の向きを与える。連続写像 $f:X\to X$ の写像度が $12$ であるとする。すなわち、$H_4(X;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ の基本類 $[X]$ に対して $f_{\ast }[X]=12[X]$ が成り立つとする。このような連続写像 $f$ 全体を考えるとき、$f$ のレフシェッツ数
$$L(f)=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\mathrm{tr}(f_{\ast }:H_k(X;\mathbb{Q})\to H_k(X;\mathbb{Q}))$$
がとりうる値をすべて求めよ。

$4$ 次元複素射影空間 ${\mathbb{CP}}^4$ 上の連続写像 $h:{\mathbb{CP}}^4\to {\mathbb{CP}}^4$ を
$$h([z_0:z_1:z_2:z_3:z_4])=[{\overline{z_0}}^3:{\overline{z_1}}^3:{\overline{z_2}}^3:{\overline{z_3}}^3:{\overline{z_4}}^3]$$
で定める（$\overline{z}$ は複素共役）。$h$ の（有理係数ホモロジーに関する）レフシェッツ数
$$L(h)=\sum _{i\ge 0}(-1{)}^i\mathrm{tr}(h_{\ast }:H_i({\mathbb{CP}}^4;\mathbb{Q})\to H_i({\mathbb{CP}}^4;\mathbb{Q}))$$
を求めよ。

この問題では、曲面とは境界のない第二可算ハウスドルフな 2 次元位相多様体とし、閉曲面とはコンパクトかつ連結な曲面とする。ホモロジーはすべて整数係数の特異ホモロジーとする。曲面 $S$ の座標円板とは、$S$ のある開集合 $W$ と同相写像 $\phi :W\to {\mathbb{R}}^2$（${\mathbb{R}}^2$ 全体への同相写像）について ${\phi }^{-1}(\{v\in {\mathbb{R}}^2\mid |v-v_0|<r\})$（$v_0\in {\mathbb{R}}^2$, $r>0$）と表される集合のこととする。座標円板 $D$ について $H_2(S,S\setminus D)\cong \mathbb{Z}$ であり、各 $z\in D$ について包含写像が誘導する $H_2(S,S\setminus D)\to H_2(S,S\setminus \{z\})$ は同型である。曲面 $S$ の向き付けとは、各点 $y\in S$ に対して $H_2(S,S\setminus \{y\})\cong \mathbb{Z}$ の生成元 ${\mu }_y$ を 1 つずつ選んだもので、次の条件をみたすものと定める: 各 $y\in S$ に対し、$y$ を含む座標円板 $D$ と $H_2(S,S\setminus D)$ の生成元 ${\mu }_D$ で、すべての $z\in D$ について ${\mu }_D$ の $H_2(S,S\setminus \{z\})$ への像が ${\mu }_z$ に等しいものが存在する。向き付けが存在する曲面を向き付け可能という。$k\ge 0$ に対し、${\Sigma }_k$ で種数 $k$ の向き付け可能な閉曲面を表す。

$g\ge 0$ を整数、$n$ を正の奇数とし、閉曲面 $M$ への $n$ 重被覆写像 $p:{\Sigma }_g\to M$（各点のファイバーがちょうど $n$ 点からなる被覆写像）が存在するとする。このとき、$M$ は向き付け可能であり、かつ $n$ は $g-1$ を割り切ることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。

(i) 閉曲面の分類定理: 向き付け可能な閉曲面は、ある $k\ge 0$ に対する ${\Sigma }_k$ にただ 1 つ同相であり、$\chi ({\Sigma }_k)=2-2k$ である。

(ii) 閉曲面 $E$ から閉曲面 $B$ への $n$ 重被覆写像があれば $\chi (E)=n\chi (B)$ である。

(iii) 曲面 $M$ の向き付け二重被覆 $q:\tilde{M}\to M$ を、$\tilde{M}=\{(x,{\mu }_x)\mid x\in M,{\mu }_x\text{ は }{H}_2(M,M\setminus \{x\})\text{ の生成元}\}$、$q(x,{\mu }_x)=x$ で定める。ここで $\tilde{M}$ の位相は、$M$ の座標円板 $B$ と $H_2(M,M\setminus B)$ の生成元 ${\mu }_B$ の組ごとに定まる集合 $U({\mu }_B)=\{(x,{\mu }_x)\mid x\in B,{\mu }_x\text{ は }{\mu }_B\text{ の像}\}$ 全体を開基とするものである。$\tilde{M}$ は曲面であり、$q$ は 2 重被覆写像で、各 $U({\mu }_B)$ について $q{|}_{U({\mu }_B)}:U({\mu }_B)\to B$ は同相である。さらに、$M$ が閉曲面のとき「$\tilde{M}$ が連結」と「$M$ が向き付け不可能」は同値である。

(iv) $p:X\to B$、$q:Y\to B$ が被覆写像で、$X,Y$ が連結かつ局所弧状連結であり、連続写像 $f:X\to Y$ が $q\circ f=p$ を満たすならば、$f$ は（全射な）被覆写像である。

連続写像 $f:\mathbb{C}{P}^4\to \mathbb{C}{P}^4$ が、整数係数コホモロジー $H^2(\mathbb{C}{P}^4;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ に $f^{\ast }(h)=-2h$（$h$ は生成元）として作用しているとする。$f$ のレフシェッツ数
$$L(f)=\sum _k(-1{)}^k\mathrm{tr}\left(f_{\ast }\mid H_k(\mathbb{C}{P}^4;\mathbb{Q})\right)$$
を求めよ。

トーラスを $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ とし、整数行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
が誘導する連続写像 $f:T^2\to T^2,f([x])=[Ax]$（$x\in {\mathbb{R}}^2$ は列ベクトル）を考える。正の整数 $n$ に対し、$f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とし、
$$P_n=\#\{p\in T^2:f^n(p)=p,\text{かつ }1\le k<n\text{ をみたすすべての整数 }k\text{ に対して }{f}^k(p)\ne p\}$$
とおく（ちょうど周期 $n$ の周期点の個数）。各 $f^n$ のレフシェッツ数 $L(f^n)$ と不動点の個数の関係を用いて、$P_{12}$ を求めよ。