代数的位相幾何の問題

方針. まず背理法で「$M$ が向き付け不可能ならば $n$ は偶数」を示し（ステップ 1〜4）、$n$ が奇数であることから $M$ が向き付け可能であることを導く。そのあと分類定理とオイラー標数の乗法性から $n\mid g-1$ を導く（ステップ 5）。以下、$B(v,r)=\{w\in {\mathbb{R}}^2\mid |w-v|<r\}$、$\overline{B}(v,r)=\{w\in {\mathbb{R}}^2\mid |w-v|\le r\}$ と書く。

ステップ 0（準備）. $n\ge 1$ なので各ファイバー $p^{-1}(x)$ は空でなく、$p$ は全射である。被覆写像は局所同相写像なので、各 $y\in {\Sigma }_g$ に対して、$y$ の開近傍 $U$ で $V=p(U)$ が $M$ の開集合であり $p{|}_U:U\to V$ が同相写像になるものがとれる。このような $U$ を「$y$ の良い近傍」と呼ぶ。良い近傍の開部分集合 $U^{\prime \prime }\ni y$ もまた良い近傍である（$p(U^{\prime \prime })=p{|}_U(U^{\prime \prime })$ は $V$ の開集合なので $M$ の開集合であり、$p{|}_{U^{\prime \prime }}$ は同相写像の制限なので像への同相写像）。

補題（小さい座標円板）. $S$ を曲面、$O\subset S$ を開集合、$y\in O$ とし、$D_0$ を $y$ を含む座標円板とする。このとき開集合 $W^{\prime }\subset O\cap D_0$、同相写像 $\psi :W^{\prime }\to {\mathbb{R}}^2$ と、$K\subset W^{\prime }$ で次をみたすものがある: $D:={\psi }^{-1}(B(0,1))$ は $y$ を含み、$K={\psi }^{-1}(\overline{B}(0,1))$ は $S$ のコンパクト集合で、$D$ の $S$ での閉包 $\overline{D}$ は $K$ に含まれる（特に $\overline{D}\subset W^{\prime }\subset O\cap D_0$）。とくに $D$ は（$W^{\prime }$ と $\psi$ により）座標円板である。

*証明.* $D_0$ を与える同相写像を $\phi :W\to {\mathbb{R}}^2$ とする。$D_0$ は $W$ の開集合（開円板の逆像）なので、$O\cap D_0$ は $W$ の開集合であり、$\phi (O\cap D_0)$ は ${\mathbb{R}}^2$ の開集合で $v=\phi (y)$ を含む。よって $r>0$ を $\overline{B}(v,2r)\subset \phi (O\cap D_0)$ となるようにとれる。$W^{\prime }={\phi }^{-1}(B(v,2r))$ とおくと、$W^{\prime }$ は $S$ の開集合で $W^{\prime }\subset O\cap D_0$ である。
$$h:B(v,2r)\to {\mathbb{R}}^2,h(w)=\frac{w-v}{2r-|w-v|}$$
は連続で、$u\mapsto v+\frac{2ru}{1+|u|}$ が連続な逆写像である（$|u|=s$ のとき $t=\frac{2rs}{1+s}<2r$ で $\frac{t}{2r-t}=s$ となるので $h(v+\frac{2ru}{1+s})=\frac{2ru/(1+s)}{2r/(1+s)}=u$。逆向きの合成も、$|w-v|=t$ のとき $|h(w)|=\frac{t}{2r-t}$ を代入して $w$ に戻ることが同様の計算で確かめられる）。よって $h$ は同相写像である。$|w-v|=t$ のとき $|h(w)|=\frac{t}{2r-t}$ は $t\in [0,2r)$ について狭義単調増加で $t=r$ で $1$ になるから、$h(B(v,r))=B(0,1)$、$h(\overline{B}(v,r))=\overline{B}(0,1)$ である。$\psi =h\circ \phi {|}_{W^{\prime }}$ とおけば $\psi :W^{\prime }\to {\mathbb{R}}^2$ は同相写像で、$D={\psi }^{-1}(B(0,1))={\phi }^{-1}(B(v,r))\ni y$ である。$K={\psi }^{-1}(\overline{B}(0,1))$ はコンパクト集合 $\overline{B}(0,1)$ の連続写像 ${\psi }^{-1}$ による像なのでコンパクトであり、$S$ はハウスドルフなので $K$ は $S$ の閉集合である。$D\subset K$ より $\overline{D}\subset K\subset W^{\prime }$。$\square$

ステップ 1（背理法の仮定と、局所ホモロジーの押し出し）. $M$ が向き付け不可能であると仮定して、$n$ が偶数であることを示す。

${\Sigma }_g$ は向き付け可能なので、向き付け $\{{\mu }_y{\}}_{y\in {\Sigma }_g}$ を 1 つ固定する。

$y\in {\Sigma }_g$、$U$ を $y$ の良い近傍、$V=p(U)$ とする。${\Sigma }_g$ はハウスドルフなので $\{y\}$ は閉集合で、${\Sigma }_g\setminus \{y\}$ は開集合である。閉集合 ${\Sigma }_g\setminus U$ は開集合 ${\Sigma }_g\setminus \{y\}$（その内部は自分自身）に含まれるので、切除定理により包含写像が誘導する $H_2(U,U\setminus \{y\})\to H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus \{y\})$ は同型である。$M$ 側でも同じ理由で $H_2(V,V\setminus \{p(y)\})\to H_2(M,M\setminus \{p(y)\})$ は同型である。$p{|}_U$ は同相で $p{|}_U(U\setminus \{y\})=V\setminus \{p(y)\}$ なので、$(p{|}_U{)}_{\ast }:H_2(U,U\setminus \{y\})\to H_2(V,V\setminus \{p(y)\})$ も同型である。これらを合成して同型
$$p_{\#}^U:H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus \{y\})\cong H_2(U,U\setminus \{y\})\stackrel{(p{|}_U{)}_{\ast }}{\to }{H}_2(V,V\setminus \{p(y)\})\cong H_2(M,M\setminus \{p(y)\})$$
を得る。

*$U$ の取り方によらないこと.* $U,U^{\prime }$ を $y$ の良い近傍とし、$U^{\prime \prime }=U\cap U^{\prime }$ とおく（これも良い近傍）。包含 $(U^{\prime \prime },U^{\prime \prime }\setminus \{y\})\to (U,U\setminus \{y\})\to ({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus \{y\})$ の合成は $U^{\prime \prime }$ からの包含なので、誘導写像も合成について両立する。また $p{|}_{U^{\prime \prime }}$ は $p{|}_U$ の制限なので、$(p{|}_U{)}_{\ast }$ と $(p{|}_{U^{\prime \prime }}{)}_{\ast }$ は $M$ 側の包含 $(p(U^{\prime \prime }),p(U^{\prime \prime })\setminus \{p(y)\})\to (V,V\setminus \{p(y)\})$ を通して可換である。これらの図式の可換性（ホモロジーの関手性）から $p_{\#}^U=p_{\#}^{U^{\prime \prime }}$ が従う。$U$ を $U^{\prime }$ に置きかえても同じ議論が成り立つので $p_{\#}^{U^{\prime }}=p_{\#}^{U^{\prime \prime }}$ であり、$p_{\#}^U=p_{\#}^{U^{\prime }}$ である。よってこの同型を単に $p_{\#}$ と書く。

そこで
$$\tilde{p}:{\Sigma }_g\to \tilde{M},\tilde{p}(y)=(p(y),p_{\#}({\mu }_y))$$
と定める。$p_{\#}$ は同型なので $p_{\#}({\mu }_y)$ は生成元であり、$\tilde{p}(y)\in \tilde{M}$ である。定義から $q\circ \tilde{p}=p$。

ステップ 2（よい座標円板の選び方）. $y\in {\Sigma }_g$ を固定し、良い近傍 $U$ をとる（$V=p(U)$）。向き付けの定義から、$y$ を含む座標円板 $D_0$ と生成元 ${\mu }_{D_0}\in H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus D_0)$ で、すべての $z\in D_0$ について ${\mu }_{D_0}$ の $H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus \{z\})$ への像が ${\mu }_z$ になるものがある。補題を $S={\Sigma }_g$、$O=U$、$D_0$ に適用して、$W^{\prime }\subset U\cap D_0$、$\psi :W^{\prime }\to {\mathbb{R}}^2$、$D={\psi }^{-1}(B(0,1))\ni y$、$K$ をとる。$\overline{D}\subset K\subset W^{\prime }\subset U$ であり、$D$ は座標円板である。

$D\subset D_0$ より ${\Sigma }_g\setminus D_0\subset {\Sigma }_g\setminus D$ なので、包含写像による $H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus D_0)\to H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus D)$ があり、${\mu }_{D_0}$ の像を ${\mu }_D$ とおく。$z\in D$ について、$H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus D_0)\to H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus D)\to H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus \{z\})$ の合成は $D_0$ から $z$ への制限写像そのもので、問題文の事実によりこれは同型、2 つ目の写像も（$D$ は座標円板なので）同型である。よって 1 つ目の写像も同型で、${\mu }_D$ は生成元であり、${\mu }_D$ の $H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus \{z\})$ への像は ${\mu }_{D_0}$ の像 ${\mu }_z$ に等しい（すべての $z\in D$ について）。

ステップ 3（$p(D)$ が座標円板であることと、$\tilde{p}$ の連続性）. $W^{\prime }$ は $U$ の開集合なので $p(W^{\prime })$ は $V$ の、したがって $M$ の開集合であり、
$${\psi }^{\prime }=\psi \circ (p{|}_{W^{\prime }}{)}^{-1}:p(W^{\prime })\to {\mathbb{R}}^2$$
は同相写像の合成なので、${\mathbb{R}}^2$ 全体への同相写像である。$p(D)={\psi }^{\prime -1}(B(0,1))$ なので、$p(D)$ は定義どおりの意味で $M$ の座標円板である。また $p(K)$ はコンパクトで、$M$ はハウスドルフなので閉集合であり、$p(D)\subset p(K)$ より $\overline{p(D)}\subset p(K)\subset p(W^{\prime })\subset V$ である。

*切除.* $\overline{D}\subset U$ より、閉集合 ${\Sigma }_g\setminus U$ は ${\Sigma }_g\setminus D$ の内部 ${\Sigma }_g\setminus \overline{D}$ に含まれる。よって切除定理により $H_2(U,U\setminus D)\to H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus D)$ は同型である。同様に $\overline{p(D)}\subset V$ から $M\setminus V\subset M\setminus \overline{p(D)}=\mathrm{int}(M\setminus p(D))$ なので、$H_2(V,V\setminus p(D))\to H_2(M,M\setminus p(D))$ も同型である。$p{|}_U$ は同相で $p{|}_U(U\setminus D)=V\setminus p(D)$ なので、これらと $(p{|}_U{)}_{\ast }$ を合成して同型
$$\Phi :H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus D)\cong H_2(U,U\setminus D)\stackrel{(p{|}_U{)}_{\ast }}{\to }{H}_2(V,V\setminus p(D))\cong H_2(M,M\setminus p(D))$$
を得る。$\nu =\Phi ({\mu }_D)$ とおくと、$\nu$ は生成元である。

*自然性.* $z\in D$ とする。対の包含 $({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus D)\to ({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus \{z\})$、$(U,U\setminus D)\to (U,U\setminus \{z\})$ などと、$U\subset {\Sigma }_g$ の包含は互いに可換であり、$p{|}_U$ は $(U,U\setminus D)\to (V,V\setminus p(D))$ と $(U,U\setminus \{z\})\to (V,V\setminus \{p(z)\})$ の両方を与えてこれらの包含と可換である（$M$ 側も同様）。$U$ は $z$ の良い近傍でもあるので、$z$ における $p_{\#}$ はこの $U$ を使って計算できる（ステップ 1 で取り方によらないことを示した）。したがって、ホモロジーの関手性から次の図式が可換である:
$$\begin{array}{ccc}{H}_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus D)& \stackrel{\Phi }{\to }& H_2(M,M\setminus p(D))\\ \downarrow & & \downarrow \\ H_2({\Sigma }_g,{\Sigma }_g\setminus \{z\})& \stackrel{p_{\#}}{\to }& H_2(M,M\setminus \{p(z)\})\end{array}$$
（縦は包含写像が誘導する写像）。よって $\nu$ の $H_2(M,M\setminus \{p(z)\})$ への像は $p_{\#}({\mu }_z)$ に等しい。

*$\tilde{p}(D)=U(\nu )$.* $p(D)$ は座標円板、$\nu$ は $H_2(M,M\setminus p(D))$ の生成元なので、$U(\nu )$ は (iii) の開基の元である。$z\in D$ なら $\tilde{p}(z)=(p(z),p_{\#}({\mu }_z))$ で、$p_{\#}({\mu }_z)$ は $\nu$ の像なので $\tilde{p}(z)\in U(\nu )$。逆に $U(\nu )$ の元は $x\in p(D)$ と $\nu$ の $H_2(M,M\setminus \{x\})$ への像の組で、$x=p(z)$（$z\in D$）と書けるので、それは $\tilde{p}(z)$ に等しい。よって $\tilde{p}(D)=U(\nu )$ である。さらに $q\circ \tilde{p}=p$ で $q{|}_{U(\nu )}$ は単射なので
$$\tilde{p}{|}_D=(q{|}_{U(\nu )}{)}^{-1}\circ p{|}_D:D\to p(D)\to U(\nu )$$
である。(iii) より $q{|}_{U(\nu )}:U(\nu )\to p(D)$ は同相なので、右辺は連続写像の合成であり、$\tilde{p}{|}_D$ は連続である。$D$ は $y$ の開近傍で $y$ は任意なので、$\tilde{p}$ は連続である。

ステップ 4（$n$ が偶数であること）. $M$ は向き付け不可能な閉曲面と仮定しているので、(iii) より $\tilde{M}$ は連結である。${\Sigma }_g$ と $\tilde{M}$ はどちらも曲面（(iii)）なので局所弧状連結であり、${\Sigma }_g$ は連結である。$p$ と $q$ は被覆写像である。よって (iv) を $X={\Sigma }_g$、$Y=\tilde{M}$、$f=\tilde{p}$ に適用でき、$\tilde{p}$ は全射な被覆写像である。被覆写像のファイバーの濃度は、各点の均一に覆われた近傍の上で一定なので局所定数であり、$\tilde{M}$ は連結なので一定である。それを $m$ とおく（${\tilde{p}}^{-1}(\tilde{x})\subset p^{-1}(q(\tilde{x}))$ なので $m\le n$、特に有限）。

$x\in M$ をとり、$q^{-1}(x)=\{{\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2\}$（相異なる 2 点、(iii)）とする。$q\circ \tilde{p}=p$ より
$$p^{-1}(x)={\tilde{p}}^{-1}(q^{-1}(x))={\tilde{p}}^{-1}({\tilde{x}}_1)\bigsqcup {\tilde{p}}^{-1}({\tilde{x}}_2)$$
（${\tilde{x}}_1\ne {\tilde{x}}_2$ なので交わらない）。よって $n=|p^{-1}(x)|=2m$ となり、$n$ は偶数である。

これは $n$ が奇数であることに矛盾する。したがって $M$ は向き付け可能である。

ステップ 5（$n\mid g-1$）. $M$ は向き付け可能な閉曲面なので、(i) よりある $k\ge 0$ で $M\cong {\Sigma }_k$、$\chi (M)=2-2k$ である。${\Sigma }_g$, $M$ はともに閉曲面なので (ii) が使えて
$$2-2g=\chi ({\Sigma }_g)=n\chi (M)=n(2-2k).$$
両辺を $-2$ で割ると
$$g-1=n(k-1).$$
$k-1$ は整数なので、$n$ は $g-1$ を割り切る（$g=1$ のときは $g-1=0$ で、この式からも成り立つ）。

結論. 向き付け可能閉曲面 ${\Sigma }_g$ から閉曲面 $M$ への奇数 $n$ 重被覆写像が存在すれば、$M$ は向き付け可能であり、$n$ は $g-1$ を割り切る。$■$

（補足: オイラー標数だけでは前半の結論は出ない。たとえば $M$ が 4 つの射影平面の連結和 $N_4$（$\chi =-2$）なら $\chi ({\Sigma }_4)=-6=3\chi (N_4)$ で数値上は矛盾しないが、ステップ 1〜4 によりそのような 3 重被覆は存在しない。）