代数的位相幾何の問題

被覆と置換表現の対応. $\pi ={\pi }_1({\Sigma }_2)=⟨a_1,b_1,a_2,b_2\mid [a_1,b_1][a_2,b_2]=1⟩$ とする（$[a,b]=ab{a}^{-1}{b}^{-1}$）。${\Sigma }_2$ は連結・局所弧状連結・半局所単連結なので被覆空間の分類定理が使え、連結な $3$ 重被覆の同型類は、準同型 $\phi :\pi \to S_3$ で像が $\{1,2,3\}$ に推移的に作用するもの（ファイバーへのモノドロミー作用）を、$S_3$ の元による共役（ファイバーのラベルの付け替え）で割ったものと一対一に対応する。そこで
$$T=\{\phi \in \mathrm{Hom}(\pi ,S_3)\mid \phi (\pi )\text{ は推移的}\}$$
とおき、$S_3$ の共役作用による $T$ の軌道の個数を求めればよい。

$|\mathrm{Hom}(\pi ,S_3)|$ の計算. $\phi$ は $S_3$ の元の $4$ つ組 $(a_1,b_1,a_2,b_2)$ で $[a_1,b_1][a_2,b_2]=e$ をみたすものと対応する。$g\in S_3$ に対し $N(g)=\#\{(a,b)\in S_3^2\mid [a,b]=g\}$ とおくと、$[a_1,b_1]=g$ のとき $[a_2,b_2]=g^{-1}$ が必要十分なので
$$|\mathrm{Hom}(\pi ,S_3)|=\sum _{g\in S_3}N(g)N(g^{-1}).$$
交換子はすべて $A_3$ に入るので、$g$ が互換なら $N(g)=0$。$N(e)$ は可換な組の個数で、$a$ ごとに中心化群の位数を足して $N(e)=1\cdot 6+3\cdot 2+2\cdot 3=18$。残りの $36-18=18$ 組の交換子は $2$ つの $3$ 巡回置換のどちらかで、逆元をとる操作 $(a,b)\mapsto (b,a)$（$[b,a]=[a,b{]}^{-1}$）により両者は同数なので、各 $3$ 巡回置換 $c$ について $N(c)=9$。よって
$$|\mathrm{Hom}(\pi ,S_3)|=18^2+9^2+9^2=486.$$

像による分類. $S_3$ の部分群は $\{e\}$、位数 $2$ の部分群 $3$ 個、$A_3$、$S_3$ である。推移的なのは $A_3$ と $S_3$。
- 像が $A_3\cong \mathbb{Z}/3$ に含まれる準同型は $\mathrm{Hom}(\pi ,\mathbb{Z}/3)=\mathrm{Hom}(H_1({\Sigma }_2),\mathbb{Z}/3)$ で $3^4=81$ 個。像がちょうど $A_3$ のものは $81-1=80$ 個。
- 像が位数 $2$ の部分群 $⟨\tau ⟩$ に含まれるものは $2^4=16$ 個で、像がちょうど $⟨\tau ⟩$ のものは $15$ 個。
- 全射でないものは $1+3\cdot 15+80=126$ 個なので、全射は $486-126=360$ 個。

したがって $|T|=80+360=440$。

軌道の数え上げ. $\phi$ の共役作用での固定部分群は、像 $\phi (\pi )$ の $S_3$ における中心化群である。
- 像が $A_3$ のとき、中心化群は $A_3$（位数 $3$）なので軌道の大きさは $6/3=2$。軌道数は $80/2=40$。
- 像が $S_3$ のとき、中心化群は自明なので軌道の大きさは $6$。軌道数は $360/6=60$。

以上より、連結な $3$ 重被覆空間の同型類の個数は $40+60=100$。

（検算：指数 $3$ の部分群の個数は $|T|/2!=220$。そのうち正規部分群は $\mathbb{Z}/3$ への全射を $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/3)$ で割った $80/2=40$ 個で、それぞれ $1$ つの共役類をなす。残り $180$ 個は共役類の大きさが $3$ なので $60$ 類。合計 $100$ で一致する。）

連結な 3 重被覆の同型類（基点なし）は、${\pi }_1({\Sigma }_2)$ の指数 3 の部分群の共役類、すなわち推移的な準同型 $\rho :{\pi }_1\to S_3$ の $S_3$ による共役類と一対一に対応する。${\pi }_1({\Sigma }_2)=⟨a_1,b_1,a_2,b_2\mid [a_1,b_1][a_2,b_2]⟩$。Frobenius–Mednykh の公式 $|\mathrm{Hom}({\pi }_g,G)|=|G|{\sum }_{\chi }(|G|/\chi (1){)}^{2g-2}$ を $G=S_3$, $g=2$ に使う。既約指標の次数は $1,1,2$ なので $|\mathrm{Hom}|=6(6^2+6^2+3^2)=6\cdot 81=486$。像が推移的でない（像が位数 $\le 2$ の部分群に入る）ものを除く: 位数 2 の部分群は 3 個で、各々への準同型は $2^4=16$ 個（自明なものを含む）。よって非推移的は $3\cdot 15+1=46$ 個、推移的は $486-46=440$ 個。内訳: 像がちょうど $A_3\cong \mathbb{Z}/3$ のもの: $3^4-1=80$ 個。像が $S_3$ 全体のもの: $440-80=360$ 個。像が $S_3$ のとき $S_3$ の中心は自明なので共役作用は自由で、$360/6=60$ 類。像が $A_3$ のとき、$S_3$ による共役は $A_3$ 上で逆元をとる作用で、非自明な準同型 $\phi$ は $-\phi \ne \phi$ なので軌道の大きさは 2、$80/2=40$ 類（これは正規被覆 40 個に対応）。合計 $60+40=100$。検算: 共役類の個数を Burnside で数える方法と整合（$S_3$ 全体の被覆の総和として、$S_3$ 像の 60 個は非正規被覆、$A_3$ 像の 40 個は巡回正規被覆）。