代数的位相幾何の問題

基本群と被覆の対応 $N_3$ の基本群は
$${\pi }_1(N_3)=⟨a_1,a_2,a_3\mid a_1^2{a}_2^2{a}_3^2⟩$$
である（$N_3$ を $6$ 角形の辺を $a_1{a}_1{a}_2{a}_2{a}_3{a}_3$ と貼り合わせたものとみる）。連結な被覆の同型類は、${\pi }_1(N_3)$ の部分群の共役類と 1 対 1 に対応し、$2$ 重被覆は指数 $2$ の部分群に対応する。指数 $2$ の部分群は正規部分群なので共役類は 1 元からなり、結局「指数 $2$ の部分群の個数」を数えればよい。

指数 $2$ の部分群の個数 指数 $2$ の部分群 $H$ は、全射準同型 $\phi :{\pi }_1(N_3)\to \mathbb{Z}/2$ の核として一意に表され、逆に全射準同型の核は指数 $2$ である。$\mathbb{Z}/2$ はアーベル群で、関係式 $a_1^2{a}_2^2{a}_3^2$ の像は $2(\phi (a_1)+\phi (a_2)+\phi (a_3))=0$ と自動的に満たされるので、$\phi$ は $(\phi (a_1),\phi (a_2),\phi (a_3))\in (\mathbb{Z}/2{)}^3$ を自由に選んで定まる。零写像を除くと全射準同型は $2^3-1=7$ 個。したがって連結な $2$ 重被覆は同型類で $7$ 個ある。

全空間の向き付け可能性 各 $a_i$ は向きを反転させるループ（メビウスの帯の中心線）である。向きを保つループ全体は指数 $2$ の部分群
$$H_0=\ker w,w(a_1)=w(a_2)=w(a_3)=1$$
をなし、これに対応する被覆が向き付け被覆（全空間は向き付け可能）である。一般に、部分群 $H$ に対応する被覆の全空間が向き付け可能であることと、$H$ のすべての元が向きを保つこと、すなわち $H\subset H_0$ は同値である。$H$ と $H_0$ はともに指数 $2$ なので、$H\subset H_0$ は $H=H_0$、つまり $\phi =w$ と同値である。

よって $7$ 個のうち全空間が向き付け可能なのは $\phi =w$ の $1$ 個だけで（全空間はオイラー標数 $2\cdot (-1)=-2$ の向き付け可能閉曲面、すなわち種数 $2$ の閉曲面）、残りの
$$7-1=6$$
個は全空間が向き付け不可能（オイラー標数 $-2$ の向き付け不可能閉曲面 $N_4$）である。

${\pi }_1(N_3)=⟨a,b,c\mid a^2{b}^2{c}^2⟩$、$H_1(N_3;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^2\oplus \mathbb{Z}/2$。連結な 2 重被覆の同型類は指数 2 の部分群（常に正規）と 1 対 1 に対応し、$\mathrm{Hom}({\pi }_1,\mathbb{Z}/2)=\mathrm{Hom}(H_1,\mathbb{Z}/2)\cong (\mathbb{Z}/2{)}^3$ の非零元 $\phi$ と対応する（$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/2)$ は自明）。よって 2 重被覆は $2^3-1=7$ 個。

全空間 $Y$ が向き付け可能であることは、$\ker \phi$ が向き指標 $w:{\pi }_1\to \mathbb{Z}/2$（$a,b,c\mapsto 1$）の核に含まれることと同値。両方とも指数 2 なので $\ker \phi =\ker w$、すなわち $\phi =w$ の 1 個のみ（向き付け double cover、$Y={\Sigma }_2$）。

検算: オイラー標数 $\chi (Y)=2\chi (N_3)=-2$。向き付け可能なら種数 2 の曲面で整合。その他の 6 個は向き付け不可能な閉曲面（$\mathbb{R}{P}^2$ の 4 個の連結和）。

答え: $7-1=6$。