代数的位相幾何の問題

トーラス $T^2=S^1\times S^1$ の連結な $12$ 重被覆空間 $p:Y\to T^2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $12$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to T^2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to T^2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在することとする。

連結な $12$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

$3$ つの円周を $1$ 点で貼り合わせた空間（$3$ つの円周のブーケ）を $X=S^1\vee S^1\vee S^1$ とする。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to X$（$Y$ は連結で、$X$ の各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという（基点は考えない）。連結な $3$ 重被覆空間の同型類の個数を求めよ。

$\mathbb{R}{P}^2$ を実射影平面、$S^1$ を円周とし、$2$ つの $\mathbb{R}{P}^2$ と $1$ つの $S^1$ をそれぞれ $1$ 点ずつで貼り合わせた一点和
$$X=\mathbb{R}{P}^2\vee \mathbb{R}{P}^2\vee S^1$$
を考える。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to X$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to X$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to X$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるとする（基点は考えない）。同型類の個数を求めよ。

クラインの壺 $K$ を、正方形 $[0,1{]}^2$ において $(s,0)\sim (s,1)$, $(0,u)\sim (1,1-u)$ $(s,u\in [0,1])$ と同一視して得られる空間とする。$K$ の連結な $6$ 重被覆空間 $p:Y\to K$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $6$ 点）のうち、$Y$ がクラインの壺に同相であるものを考える。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to K$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to K$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在することとする。

このような被覆空間の同型類の個数を求めよ。

$N_3=\mathbb{R}{P}^2\#\mathbb{R}{P}^2\#\mathbb{R}{P}^2$ を $3$ 個の射影平面の連結和として得られる向き付け不可能な閉曲面とする。$N_3$ の連結な $2$ 重被覆空間 $p:Y\to N_3$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $2$ 点）を考える。$2$ つの被覆 $p:Y\to N_3$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to N_3$ は、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ を満たすものが存在するとき同型であるという。

同型類で数えたとき、連結な $2$ 重被覆空間のうち、全空間 $Y$ が向き付け不可能であるものはいくつあるか。