基本群の表示とアーベル化

ファン・カンペンの定理から、頂点 1 個の 2 次元 CW 複体の基本群を「 $1$ 胞体を生成元、 $2$ 胞体の接着語を関係式」とする表示 $⟨ x_{1}, \dots, x_{n} ∣ r_{1}, \dots, r_{m} ⟩$ で書ける（例: $π_{1} (Σ_{g}) = ⟨ a_{1}, b_{1}, \dots, a_{g}, b_{g} ∣ \prod [a_{i}, b_{i}]⟩$ 、 $π_{1} (R P^{2}) ≅ Z /2$ ）。アーベル化が $H_{1}$ に一致すること（フレヴィッツの定理）を使い、関係式の指数和の行列からアーベル化の位数を求められる（例: $⟨ x, y ∣ x^{2} y, y^{3} x ⟩$ のアーベル化は $det (2113) = 5$ より位数 $5$ ）

前提

CW 複体の胞体ホモロジー（大学院数学代数的位相幾何）

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算数中学高校大学大学院

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CW 複体の胞体ホモロジー（大学院数学代数的位相幾何）

説明

頂点が $1$ 個の $2$ 次元 CW 複体 $X$ の基本群 $π_{1} (X)$ を、「 $1$ 胞体を生成元、 $2$ 胞体の接着語を関係式」とする群の表示として、胞体分割から直接書き下せるようになります。さらに、その群を可換にした群（アーベル化）が $H_{1} (X)$ と一致することを使い、関係式の指数和を並べた整数行列の行列式や単因子から、アーベル化の位数を計算できます。基本群そのものは非可換で扱いにくいことが多いので、アーベル化は「基本群が違うこと」を確かめる手軽な道具になります。

なぜそうしてよいのか

まず言葉を定めます。文字 $x_{1}, \dots, x_{n}$ とその逆 $x_{i}^{- 1}$ を並べた語を、 $x_{i} x_{i}^{- 1}$ のような隣り合う打ち消しを除いて同一視し、つなげる操作を積とした群を自由群 $F_{n}$ といいます。語 $r_{1}, \dots, r_{m}$ について、 $r_{j}$ とその共役 $w r_{j} w^{- 1}$ （ $w \in F_{n}$ ）たちが生成する部分群 $N$ で割った群 $F_{n} / N$ を $⟨ x_{1}, \dots, x_{n} ∣ r_{1}, \dots, r_{m} ⟩$ と書き、群の表示といいます（「 $r_{j} = 1$ という関係だけを課した群」）。また $[a, b] = ab a^{- 1} b^{- 1}$ （交換子）とし、群 $G$ をすべての交換子が生成する部分群 $[G, G]$ で割った可換群 $G^{ab} = G / [G, G]$ をアーベル化といいます。

頂点 $1$ 個の $1$ 次元骨格は円周 $n$ 個を $1$ 点で貼り合わせたもの（ブーケ）で、各円周を $1$ 周するループ $x_{i}$ どうしの間には何の関係もないので、基本群は自由群 $F_{n}$ です。ここに $2$ 胞体を語 $r$ に沿って接着すると、ループ $r$ は円板の境界になるので $1$ 点に縮められ、 $r = 1$ になります。ファン・カンペンの定理（空間を弧状連結な開集合 $U, V$ （ $U \cap V$ も弧状連結）の和に分けると、 $π_{1}$ は $π_{1} (U)$ と $π_{1} (V)$ を $π_{1} (U \cap V)$ の像で同一視して得られる、という定理）を、円板の内部を含む $U$ と $1$ 次元骨格に変形できる $V$ に適用すると、 $2$ 胞体の接着で新たに課される関係は $r = 1$ （とその共役）だけだとわかります。よって $π_{1} (X) = ⟨ x_{1}, \dots, x_{n} ∣ r_{1}, \dots, r_{m} ⟩$ です。

この群を可換にすると、生成元は自由に並べ替えられるので、語 $r_{j}$ は指数和 $x_{1}^{e_{j 1}} \dots x_{n}^{e_{j n}}$ だけで決まり、 $G^{ab} ≅ Z^{n} / ⟨(e_{j 1}, \dots, e_{j n}) (j = 1, \dots, m)⟩$ となります。これは胞体ホモロジーで $\partial_{1} = 0$ 、 $\partial_{2}$ の行が指数和ベクトル、として求めた $H_{1} (X) = Z^{n} / im \partial_{2}$ と同じものです（フレヴィッツの定理 $π_{1} (X)^{ab} ≅ H_{1} (X)$ の具体的な姿）。したがって、指数和の行列 $E = (e_{j i})$ のスミス標準形の $0$ でない単因子 $d_{1}, \dots, d_{r}$ （ $r = rank E$ ）から $G^{ab} ≅ Z / d_{1} \oplus \dots \oplus Z / d_{r} \oplus Z^{n - r}$ が得られます。特に $m = n$ で $det E \neq = 0$ なら $r = n$ で、アーベル化は有限で位数は $∣ det E ∣ = d_{1} \dots d_{n}$ です。 $det E = 0$ や $m < n$ なら $r < n$ なので $Z$ の直和成分が残り、無限群です。

手順

CW 複体の $1$ 胞体に名前 $x_{1}, \dots, x_{n}$ を付け、各 $2$ 胞体の境界をたどって接着語 $r_{j}$ を読む（向きが逆の辺は $x_{i}^{- 1}$ ）。これで $π_{1} (X) = ⟨ x_{1}, \dots, x_{n} ∣ r_{1}, \dots, r_{m} ⟩$
各関係式 $r_{j}$ について、文字 $x_{i}$ の指数の合計 $e_{j i}$ を数える（ $x_{i}$ は $+ 1$ 、 $x_{i}^{- 1}$ は $- 1$ 、離れた位置に現れても合計する）
指数和を並べた $m \times n$ 整数行列 $E = (e_{j i})$ を作る。アーベル化は $Z^{n} / (E の行が生成する部分群)$
$m = n$ なら $det E$ を計算する。 $det E \neq = 0$ ならアーベル化の位数は $∣ det E ∣$ 、 $det E = 0$ なら無限群。 $m < n$ なら無限群。 $m > n$ のときは手順 5 を使う
群の形まで必要なとき、または $m \neq = n$ のときは、 $E$ のスミス標準形の $0$ でない単因子 $d_{1}, \dots, d_{r}$ から $Z / d_{1} \oplus \dots \oplus Z / d_{r} \oplus Z^{n - r}$ と読む（ $r = n$ のとき位数 $d_{1} \dots d_{n}$ ）

例題

群 $G = ⟨ x, y ∣ x^{3} y^{2}, x y^{- 1} x y ⟩$ のアーベル化 $G / [G, G]$ の位数を求めよ。

例題の解答

手順 1: 生成元は $x, y$ 、関係式は $r_{1} = x^{3} y^{2}$ 、 $r_{2} = x y^{- 1} x y$ である（ $G$ は、頂点 $1$ 個・ $1$ 胞体 $2$ 個にこの $2$ つの語に沿って $2$ 胞体を接着した CW 複体の基本群）。
手順 2: 指数和を数える。 $r_{1}$ は $x$ が $3$ 、 $y$ が $2$ 。 $r_{2}$ は $x$ が $1 + 1 = 2$ 、 $y$ が $- 1 + 1 = 0$ 。
手順 3:
$E = (3220) .$
手順 4: $m = n = 2$ で $det E = 3 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = - 4 \neq = 0$ なので、アーベル化は有限で位数は $∣ - 4∣ = 4$ 。
手順 5（補足）: $E$ の成分の最大公約数は $1$ なので単因子は $1, 4$ で、 $G^{ab} ≅ Z /4$ 。

答え: $4$

よくある誤り

共役の形の文字を数え損なう誤り。 $x y x^{- 1}$ の $x$ の指数和を $2$ とするのは誤りで、正しくは $1 - 1 = 0$ 。指数和ベクトルは $(0, 1)$ で、関係式 $x y x^{- 1} = 1$ はアーベル化では $y = 0$ と同じ。
行列式の符号をそのまま位数にしてしまう誤り。例題で位数を $det E = - 4$ とするのは誤り。正しくは $∣ det E ∣ = 4$ 。
$det E = 0$ のときに位数を $0$ としたり、有限群だと思い込んだりする誤り。 $⟨ x, y ∣ x^{2} y^{2}, x^{3} y^{3} ⟩$ では $E = (2323)$ で $det E = 0$ 。行が生成する部分群は $(3, 3) - (2, 2) = (1, 1)$ で生成されるので、アーベル化は $Z^{2} / ⟨(1, 1)⟩ ≅ Z$ で無限群。正しくは「 $m = n$ で $det E = 0$ なら無限」。関係式が生成元より少ないとき（たとえば $⟨ x, y ∣ x^{2} y^{2} ⟩$ はアーベル化 $Z^{2} / ⟨(2, 2)⟩ ≅ Z \oplus Z /2$ ）も無限群で、このときは行列式自体が定義されない。
アーベル化の位数を基本群そのものの位数としてしまう誤り。 $⟨ x, y ∣ x^{2}, y^{3} ⟩$ のアーベル化は $det (2003) = 6$ より位数 $6$ だが、群そのものは無限群（ $x$ と $y$ が交換しないので、 $x y x y \dots$ がいくらでも長い異なる元を作る）。指数和の行列から求まるのは $G / [G, G]$ だけ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$0$ 胞体 $1$ 個に、 $1$ 胞体 $x, y$ を接着して $2$ つの円周の一点和を作り、さらに $2$ 個の $2$ 胞体を、それぞれ語 $x^{3} y^{2}$ と語 $x y^{4}$ に沿って接着して得られる $2$ 次元 CW 複体を $X$ とする。基本群 $π_{1} (X)$ のアーベル化 $π_{1} (X)^{ab}$ は有限群である。その位数を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

被覆空間と部分群の対応（大学院数学代数的位相幾何）