代数的位相幾何の問題

準備. コンパクトな曲面の間の被覆写像 $p:Y\to X$ は有限次（$d$ 重）であり、$X$ の三角形分割を $Y$ に持ち上げることで
$$\chi (Y)=d\chi (X)$$
が成り立つ。また $\chi ({\Sigma }_g)=2-2g$, $\chi (N_h)=2-h$ であり、閉曲面は向き付け可能性とオイラー標数で分類される。

向き付け可能な被覆の次数は偶数. $p:Y\to N_h$ を連結な $d$ 重被覆とし、$H=p_{\ast }{\pi }_1(Y)\subset {\pi }_1(N_h)$ とおく（$[{\pi }_1(N_h):H]=d$）。$p$ は局所同相なので、$Y$ の閉道が向きを保つことと、その像の閉道が $N_h$ で向きを保つことは同値である。$Y$ が向き付け可能なら $H$ の元はすべて向きを保つので、$H$ は向きを保つ閉道のなす指数 $2$ の部分群 ${\pi }_1^{+}$ に含まれ、$d=2[{\pi }_1^{+}:H]$ は偶数である。

(1) ${\Sigma }_{13}$ が $N_h$ を被覆する条件. $d$ 重被覆があれば $-24=d(2-h)$, $d$ は偶数。$h=1,2$ では右辺が $\ge 0$ なので不可能。$h\ge 3$ では $d=2k$ とおくと $12=k(h-2)$ より $h-2\mid 12$。逆に $h-2\mid 12$, $k=12/(h-2)$ のとき、向き付け二重被覆 ${\Sigma }_{h-1}\to N_h$（$\chi =2(2-h)$ より種数 $h-1$）と、全射 ${\pi }_1({\Sigma }_{h-1})\to H_1({\Sigma }_{h-1})\to \mathbb{Z}/k$ の核に対応する連結な $k$ 重被覆 ${\Sigma }_{k(h-2)+1}\to {\Sigma }_{h-1}$ を合成すれば、${\Sigma }_{13}\to N_h$ が得られる。よって
$$h-2\in \{1,2,3,4,6,12\},h\in \{3,4,5,6,8,14\}.$$

(2) $N_{20}$ が $N_h$ を被覆する条件. $d$ 重被覆があれば $-18=d(2-h)$。$h=1,2$ では不可能で、$h\ge 3$ では $h-2\mid 18$。逆に $h\ge 3$, $d=18/(h-2)$ とする。${\pi }_1(N_h)=⟨a_1,\dots ,a_h\mid a_1^2{a}_2^2\cdots a_h^2⟩$（各 $a_i$ は向きを反転する閉道）に対し、準同型
$$\phi :{\pi }_1(N_h)\to \mathbb{Z}/d,a_1\mapsto 1,a_2\mapsto -1,a_i\mapsto 0(i\ge 3)$$
は関係式 $2-2+0=0$ を満たすので well-defined で全射である。その核に対応する被覆は連結な $d$ 重被覆で、核は向きを反転する $a_3$ を含むので全空間は向き付け不可能。オイラー標数は $d(2-h)=-18$ なので全空間は $N_{20}$ である。よって
$$h-2\in \{1,2,3,6,9,18\},h\in \{3,4,5,8,11,20\}.$$

(3) 共通部分. (1) と (2) の両方を満たす $h$ は
$$h\in \{3,4,5,8\}.$$

$\chi ({\Sigma }_{13})=-24$, $\chi (N_{20})=-18$, $\chi (N_h)=2-h$。有限被覆（次数 $d$）では $\chi (Y)=d\chi (X)$。$h=1,2$ のとき $\chi (N_h)\ge 0$ で、負の $\chi$ をもつ曲面は被覆できないので $h\ge 3$。ここで被覆は有限被覆（コンパクト曲面を被覆するコンパクト曲面）と解釈する。\n\n(1) ${\Sigma }_{13}$ が $N_h$ を被覆する条件。向き付け可能な被覆空間は向き付け二重被覆 ${\Sigma }_{h-1}\to N_h$ を経由する（向き付けの指標が ${\pi }_1(Y)$ 上で自明なため）。よって ${\Sigma }_{13}$ が $N_h$ を被覆することは、${\Sigma }_{13}$ が ${\Sigma }_{h-1}$ を被覆することと同値。$\chi$ より $-24=k(4-2h)$、すなわち $k(h-2)=12$。逆に $(h-2)\mid 12$ なら ${\Sigma }_{13}\to {\Sigma }_{h-1}$ の $k$ 次被覆が存在する（種数 $g^{\prime }$ の曲面を $(g^{\prime }-1)\mid (g-1)$ のとき被覆する標準的事実）。合成して $N_h$ の被覆を得る。よって $h-2\in \{1,2,3,4,6,12\}$、$h\in \{3,4,5,6,8,14\}$。\n\n(2) $N_{20}$ が $N_h$ を被覆する条件。$-18=d(2-h)$ より $d(h-2)=18$ が必要。逆に $h\ge 3$, $d(h-2)=18$ のとき、${\pi }_1(N_h)=⟨a_1,\dots ,a_h\mid a_1^2\cdots a_h^2⟩$ から $S_d$ への準同型で、$a_1\mapsto 1$（向きを反転するループが点を固定するので被覆は向き付け不可能）、$a_2\mapsto$ $d$ 巡回置換 $c$、$a_3\mapsto c^{-1}$、$a_j\mapsto 1$（$j\ge 4$）とすると関係式 $a_2^2{a}_3^2=1$ を含め満たされ、推移的。得られる $d$ 次被覆は向き付け不可能で $\chi =d(2-h)=-18$ なので $N_{20}$。よって $h-2\in \{1,2,3,6,9,18\}$、$h\in \{3,4,5,8,11,20\}$。\n\n(3) 共通部分: $\{3,4,5,6,8,14\}\cap \{3,4,5,8,11,20\}=\{3,4,5,8\}$。\n\n検算: $h=8$ のとき ${\Sigma }_{13}$: $k\cdot 6=12$, $k=2$ ($d=4$, $\chi =4\cdot (-6)=-24$ OK)。$N_{20}$: $d=3$, $\chi =3\cdot (-6)=-18$ OK。$h=6$ では $N_{20}$ に対し $4d=18$ が整数解なし、$h=14$ では $12d=18$ が不可。