代数的位相幾何の問題

基本群. $\mathbb{Z}/6$ の作用は自由（${\zeta }^{k}z=z,{\zeta }^{k}w=w$ かつ $(z,w)\ne (0,0)$ なら ${\zeta }^k=1$）で、$S^3$ は単連結なので ${\pi }_1(L)\cong \mathbb{Z}/6$。よって
$$G={\pi }_1(X)\cong \mathbb{Z}/6\times \mathbb{Z}.$$

被覆の分類. $X$ は連結な多様体なので被覆空間の分類定理が使え、基点を考えない連結被覆の同型類は $G$ の部分群の共役類と $1$ 対 $1$ に対応し、被覆の重数は部分群の指数に等しい。$G$ はアーベル群なので共役類は部分群そのものである。したがって $c_n$ は $G$ の指数 $n$ の部分群の個数である。

指数 $n$ の部分群の数え上げ. $H\le G$ を指数有限の部分群とする。第 $2$ 成分への射影による $H$ の像は $\mathbb{Z}$ の指数有限の部分群なので $m\mathbb{Z}$ $(m\ge 1)$ と書ける。$A=H\cap (\mathbb{Z}/6\times \{0\})$ とおくと、$A$ は $\mathbb{Z}/6$ の部分群である。$(c,m)\in H$ となる $c\in \mathbb{Z}/6$ を $1$ つとると
$$H=(A\times \{0\})+⟨(c,m)⟩$$
であり、$c$ は $A$ を法として一意に定まる。逆に、部分群 $A$、正の整数 $m$、剰余類 $c+A\in (\mathbb{Z}/6)/A$ を与えると上の式で部分群 $H$ が定まり、異なる組からは異なる $H$ が得られる。指数は
$$[G:H]=[\mathbb{Z}/6:A]\cdot [\mathbb{Z}:m\mathbb{Z}]=dm(d=[\mathbb{Z}/6:A])$$
である。$\mathbb{Z}/6$ の部分群は各約数 $d\mid 6$ に対して指数 $d$ のものがちょうど $1$ つあり、そのとき $c$ の選び方は $d$ 通り。指数が $n$ になるには $m=n/d$ が整数であること、すなわち $d\mid n$ が必要十分である。よって
$$c_n=\sum _{d\mid \gcd (6,n)}d=\sigma (\gcd (6,n))$$
（$\sigma$ は約数の和）。

計算. $\sigma (1)=1,\sigma (2)=3,\sigma (3)=4,\sigma (6)=12$ より、$n=1,2,\dots ,6$ に対して
$$c_n=1,3,4,3,1,12$$
で、その和は $24$。$\gcd (6,n)$ は $n$ について周期 $6$ なので $n=7,\dots ,12$ でも和は $24$。したがって
$$\sum _{n=1}^{12}{c}_n=24+24=48.$$

$S^3$ は単連結で $\mathbb{Z}/6$ は自由に作用するので ${\pi }_1(L)=\mathbb{Z}/6$。したがって ${\pi }_1(X)=G=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6$（アーベル群）。$X$ は連結・局所弧状連結・半局所単連結なので、基点を考えない連結な $n$ 重被覆の同型類は、$G$ の指数 $n$ の部分群の共役類と 1 対 1 に対応する。$G$ はアーベル群なので共役類は部分群そのものであり、$c_n$ は $G$ の指数 $n$ の部分群の個数。\n\n$G=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/3$。指数 $n$ の部分群の個数は素数ごとの成分の積（乗法的）。\n\n$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/m$ の部分群 $H$ を考える（$m$ は素数 $p$）。\n(i) $H\supseteq 0\times \mathbb{Z}/p$ のとき、$H=k\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p$、指数 $k$。\n(ii) $H\cap (0\times \mathbb{Z}/p)=0$ のとき、$H=⟨(k,t)⟩$（$k>0$, $t\in \mathbb{Z}/p$）、指数 $kp$、$p$ 通りの $t$ は互いに異なる部分群を与える。\nよって指数 $p^a$（$a\ge 1$）の部分群は $1+p$ 個、$a=0$ では 1 個。\n\n$p=2$: 指数 $2^a$（$a\ge 1$）で 3 個。$p=3$: 指数 $3^a$（$a\ge 1$）で 4 個。他の素数 $q$: $\mathbb{Z}$ の部分群なので各 $q^a$ で 1 個。\n\n$c_1=1$, $c_2=3$, $c_3=4$, $c_4=3$, $c_5=1$, $c_6=3\cdot 4=12$, $c_7=1$, $c_8=3$, $c_9=4$, $c_{10}=3\cdot 1=3$, $c_{11}=1$, $c_{12}=3\cdot 4=12$。\n\n和: $1+3+4+3+1+12+1+3+4+3+1+12=48$。\n\n検算: $c_2$ は指数 2 の部分群 $=$ 準同型 $G\to \mathbb{Z}/2$ の全射の個数 $=|\mathrm{Hom}(G,\mathbb{Z}/2)|-1=4-1=3$ で一致。