代数的位相幾何の問題

$3$ 次元複素射影空間 $\mathbb{C}{P}^3$ 上の連続写像 $f:\mathbb{C}{P}^3\to \mathbb{C}{P}^3$ を
$$f([z_0:z_1:z_2:z_3])=[{\overline{z_0}}^2:{\overline{z_1}}^2:{\overline{z_2}}^2:{\overline{z_3}}^2]$$
で定める（$\overline{z}$ は $z$ の複素共役）。$f$ のレフシェッツ数 $L(f)={\sum }_k(-1{)}^k\mathrm{tr}(f_{\ast }:H_k(\mathbb{C}{P}^3;\mathbb{Q})\to H_k(\mathbb{C}{P}^3;\mathbb{Q}))$ を求めよ。

$X=S^2\times S^2$ とし、$X$ には積の向きを与える。連続写像 $f:X\to X$ の写像度が $12$ であるとする。すなわち、$H_4(X;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ の基本類 $[X]$ に対して $f_{\ast }[X]=12[X]$ が成り立つとする。このような連続写像 $f$ 全体を考えるとき、$f$ のレフシェッツ数
$$L(f)=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\mathrm{tr}(f_{\ast }:H_k(X;\mathbb{Q})\to H_k(X;\mathbb{Q}))$$
がとりうる値をすべて求めよ。

連続写像 $f:\mathbb{C}{P}^4\to \mathbb{C}{P}^4$ が、整数係数コホモロジー $H^2(\mathbb{C}{P}^4;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$ に $f^{\ast }(h)=-2h$（$h$ は生成元）として作用しているとする。$f$ のレフシェッツ数
$$L(f)=\sum _k(-1{)}^k\mathrm{tr}\left(f_{\ast }\mid H_k(\mathbb{C}{P}^4;\mathbb{Q})\right)$$
を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$\mathbb{C}{P}^n$ を $n$ 次元複素射影空間とする。連続写像 $f:\mathbb{C}{P}^n\to \mathbb{C}{P}^n$ が不動点をもたないならば、$n$ は奇数であり、かつ $H^2(\mathbb{C}{P}^n;\mathbb{Z})$ の生成元 $a$ に対して $f^{\ast }(a)=-a$ が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。

(i) 整係数コホモロジー環は $H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^n;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}[a]/(a^{n+1})$（$a\in H^2$）であり、$0\le k\le n$ に対して $H^{2k}(\mathbb{C}{P}^n;\mathbb{Z})$ は $a^k$ で生成される無限巡回群、それ以外の次数のコホモロジーは $0$ である。連続写像が誘導する $f^{\ast }$ はカップ積を保つ次数付き環準同型で、単位元 $1\in H^0$ を $1$ に送る。

(ii) レフシェッツの不動点定理: $X$ がコンパクトな三角形分割可能空間で、すべての $k$ について $H^k(X;\mathbb{Z})$ が有限階数の自由加群であるとき、連続写像 $f:X\to X$ のレフシェッツ数を
$$L(f)=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\mathrm{tr}(f^{\ast }:H^k(X;\mathbb{Z})\to H^k(X;\mathbb{Z}))$$
で定めると、$L(f)\ne 0$ ならば $f$ は不動点をもつ。$\mathbb{C}{P}^n$ はコンパクトな三角形分割可能空間である。

$2$ 次元球面 $S^2$ をリーマン球面 $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$ と同一視し、通常の向きを入れる。連続写像 $\phi ,\psi :S^2\to S^2$ を
$$\phi (z)=z^3,\psi (z)=-\frac{1}{{\overline{z}}^2}$$
で定める（$\phi (\infty )=\infty$, $\psi (0)=\infty$, $\psi (\infty )=0$ と連続に拡張する）。積空間 $X=S^2\times S^2$ に積の向きを入れ、連続写像 $f:X\to X$ を
$$f(x,y)=(\phi (y),\psi (x))$$
で定める。$f$ のレフシェッツ数 $L(f)=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\mathrm{tr}(f_{\ast }:H_k(X;\mathbb{Q})\to H_k(X;\mathbb{Q}))$ を求めよ。