レフシェッツ数と不動点

レフシェッツ数 $L (f) = \sum_{k} (- 1)^{k} tr (f_{*} ∣ H_{k} (X; Q))$ を計算し、 $L (f) \neq = 0$ なら不動点があることを使える。 $C P^{n}$ では $f^{*}$ が $H^{2}$ に整数 $d$ で作用すると $H^{2 k}$ には $d^{k}$ で作用することから $L (f) = \sum_{k = 0}^{n} d^{k}$ を求められる（例: $C P^{3}$ で $d = - 2$ なら $L (f) = 1 - 2 + 4 - 8 = - 5$ ）。トーラスの線形写像 $f_{A}$ では $L (f_{A}) = det (I - A)$ となり、これが不動点の個数 $∣ det (I - A) ∣$ の符号つき版であることを確かめられる

前提

球面の間の写像の写像度（大学院数学代数的位相幾何）
コホモロジー環とカップ積（大学院数学微分トポロジー・特性類）
トーラス自己同型の周期点（大学院数学力学系・エルゴード理論）

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算数中学高校大学大学院

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周期点の個数とメビウス反転（大学院数学力学系・エルゴード理論）
トーラス自己同型の周期点（大学院数学力学系・エルゴード理論）

説明

コンパクトな多様体や有限単体複体（の幾何学的実現） $X$ 上の連続写像 $f : X \to X$ について、ホモロジーへの作用だけからレフシェッツ数 $L (f) = \sum_{k} (- 1)^{k} tr (f_{*} ∣ H_{k} (X; Q))$ を計算し、 $L (f) \neq = 0$ なら $f$ が必ず不動点をもつと結論できるようになります。写像を具体的に知らなくても、コホモロジー環の構造（ $C P^{n}$ ）や行列（トーラス）から不動点の存在を保証できるのが強みです。さらに滑らかな写像で不動点が有限個かつ非退化なときは、 $L (f)$ が不動点を符号つきで数えた値になります。

なぜそうしてよいのか

中心にあるのは次の定理（レフシェッツの不動点定理）です: $X$ が有限単体複体（コンパクトな滑らかな多様体は三角形分割できるのでこれに含まれる）で $L (f) \neq = 0$ なら、 $f$ は不動点をもつ。証明は三角形分割を使うので、ここでは三角形分割できる空間について述べます（有限 CW 複体でも定理は成り立ちますが、そのためには有限単体複体に帰着させる別の議論が要ります）。骨格は 2 つです。(i) ホップの跡公式: 有限鎖複体 $C_{*}$ 上の鎖写像 $φ$ について $\sum_{k} (- 1)^{k} tr (φ ∣ C_{k} \otimes Q) = \sum_{k} (- 1)^{k} tr (φ_{*} ∣ H_{k})$ 。これはオイラー標数 $χ = \sum (- 1)^{k} dim C_{k} = \sum (- 1)^{k} dim H_{k}$ の証明と同じく、 $C_{k} = Z_{k} \oplus B_{k - 1}^{'}$ のように分けて次元定理（核と像）の交代和で打ち消し合わせれば出ます。(ii) 不動点がないと鎖レベルの跡が $0$ にできること: $f$ に不動点がなければ、 $X$ がコンパクトなので距離 $d (x, f (x))$ は正の最小値 $ε > 0$ をもちます。三角形分割を十分細かく細分して各単体の直径を $ε /3$ より小さくし、さらに細かい細分 $K^{'}$ から $K$ への単体近似 $g$ を $f$ に $ε /3$ より近くとります。 $g$ は $f$ とホモトピック（近い点を単体の中で線分で結ぶ）なので $g_{*} = f_{*}$ です。 $K$ の各単体 $σ$ をその細分の和に送る鎖写像と $g$ の誘導する鎖写像を合成した $φ : C_{*} (K) \to C_{*} (K)$ は、ホモロジーで $f_{*}$ を誘導し、 $σ$ を $g (σ)$ 付近、つまり $f (σ)$ の $ε /3$ 近傍に含まれる単体の和に送ります。 $σ$ と $f (σ)$ は距離 $ε /3$ 以上離れているので、 $φ (σ)$ に $σ$ 自身は現れず、表現行列の対角成分はすべて $0$ です。よって (i) より $L (f) = 0$ となり、対偶をとれば $L (f) \neq = 0 \Rightarrow$ 不動点あり、です。 $L (f)$ はホモロジーだけで決まるのでホモトピーで変わらず、恒等写像なら $L (id) = χ (X)$ です。

$C P^{n}$ では $H^{*} (C P^{n}; Z) = Z [h] / (h^{n + 1})$ で、 $f^{*}$ は環準同型なので $f^{*} h = d h$ なら $f^{*} (h^{k}) = (f^{*} h)^{k} = d^{k} h^{k}$ です。有理数係数では $H^{k} (X; Q)$ は $H_{k} (X; Q)$ の双対空間で、 $f^{*}$ は $f_{*}$ の双対（表現行列は転置）なのでトレースが等しく、奇数次は $0$ なので $L (f) = \sum_{k = 0}^{n} d^{k}$ となります。

トーラス $T^{n} = R^{n} / Z^{n}$ の線形写像 $f_{A}$ （ $A$ は整数行列）では、 $H_{1}$ への作用が $A$ 、 $H_{k}$ への作用はその $k$ 次外冪（固有値 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ の $k$ 個ずつの積が固有値）なので $\sum_{k} (- 1)^{k} tr = \prod_{i} (1 - λ_{i}) = det (I - A)$ です。一方、不動点は $(A - I) x \in Z^{n}$ の解（ $x$ は $Z^{n}$ を法として数える）で、 $det (A - I) \neq = 0$ ならちょうど $∣ det (I - A) ∣$ 個あります。参考として、滑らかな写像の不動点 $x$ で $det (I - d f_{x}) \neq = 0$ のとき、その指数を $sign det (I - d f_{x})$ と定めると、不動点が有限個でどれもこの条件を満たすなら $L (f)$ は指数の和に等しいことが知られています（レフシェッツ・ホップの定理）。 $f_{A}$ ではどの不動点でも $d f_{x} = A$ なので指数はすべて $sign det (I - A)$ で、和は $sign det (I - A) \cdot ∣ det (I - A) ∣ = det (I - A) = L (f_{A})$ となり、 $L$ が「符号つき不動点数」になっていることが確かめられます。

手順

$X$ の有理数係数ホモロジー（またはコホモロジー） $H_{k} (X; Q)$ と基底を求める（ねじれは消えるので無視してよい）
各 $k$ で $f_{*}$ の表現行列を求め、トレース $tr (f_{*} ∣ H_{k})$ を計算する。連結なら $H_{0}$ のトレースは $1$
$L (f) = \sum_{k} (- 1)^{k} tr (f_{*} ∣ H_{k})$ を計算する。 $C P^{n}$ で $f^{*} h = d h$ なら $L (f) = \sum_{k = 0}^{n} d^{k}$ 、トーラスの $f_{A}$ なら $L (f_{A}) = det (I - A)$
$L (f) \neq = 0$ なら不動点が存在すると結論する（ $L (f) = 0$ のときは何も言えない）

例題

連続写像 $f : C P^{4} \to C P^{4}$ が $H^{2} (C P^{4}; Z)$ の生成元 $h$ に $f^{*} h = - 2 h$ と作用するとき、レフシェッツ数 $L (f)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $H^{*} (C P^{4}; Q)$ は $1, h, h^{2}, h^{3}, h^{4}$ （次数 $0, 2, 4, 6, 8$ ）を基底にもち、奇数次は $0$ 。

手順 2: $f^{*}$ は環準同型なので $f^{*} (h^{k}) = (f^{*} h)^{k} = (- 2)^{k} h^{k}$ 。各 $H^{2 k}$ は 1 次元なのでトレースは $(- 2)^{k}$ 。 $H^{0}$ では $1$ 。有理数係数ではホモロジーのトレースもこれに等しい。

手順 3: 次数 $2 k$ は偶数なので符号はすべて $+$ で、 $L (f) = 1 + (- 2) + 4 + (- 8) + 16 = 11.$

手順 4: $L (f) = 11 \neq = 0$ なので $f$ は不動点をもつ。

答え: $11$

よくある誤り

$L (f) = 0$ なら不動点がないとしてしまう誤り。定理は $L (f) \neq = 0 \Rightarrow$ 不動点あり、の一方向だけです。たとえば $T^{2}$ の恒等写像は $L = det (I - I) = 0$ ですが、すべての点が不動点です
$C P^{n}$ で各次数に同じ $d$ を掛けてしまう誤り。 $C P^{3}$ 、 $d = 2$ で $L = 1 + 2 + 2 + 2 = 7$ とするのは誤りで、 $f^{*} (h^{k}) = d^{k} h^{k}$ なので正しくは $L = 1 + 2 + 4 + 8 = 15$ です
$H_{0}$ の項を落としてしまう誤り。連結な $X$ では $f_{*}$ は $H_{0} ≅ Q$ に恒等的に作用し、必ず $+ 1$ が入ります。 $C P^{2}$ 、 $d = - 1$ で $L = - 1 + 1 = 0$ ではなく、正しくは $L = 1 - 1 + 1 = 1$ です
トーラスで $L (f_{A})$ を $det (A - I)$ としてしまう誤り。 $det (I - A) = (- 1)^{n} det (A - I)$ なので $n$ が奇数のとき符号が逆になります。たとえば $T^{3}$ で $A = 2 I_{3}$ （ $x \mapsto 2 x$ ）なら $det (A - I) = 1$ ですが、正しくは $L (f_{A}) = det (I - A) = (- 1)^{3} = - 1$ です。トレースで確かめると $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ のトレースは $6, 3 \cdot 4 = 12, 8$ で $L = 1 - 6 + 12 - 8 = - 1$ 。不動点は $x \equiv 2 x$ 、つまり $x \in Z^{3}$ の $1$ 個（ $= ∣ det (I - A) ∣$ ）で、個数は絶対値、 $L$ は負にもなりえます

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
連続写像 $f : C P^{4} \to C P^{4}$ が、整数係数コホモロジー $H^{2} (C P^{4}; Z) ≅ Z$ に $f^{*} (h) = - 2 h$ （ $h$ は生成元）として作用しているとする。 $f$ のレフシェッツ数
$L (f) = k \sum (- 1)^{k} tr (f_{*} ∣ H_{k} (C P^{4}; Q))$
を求めよ。

レフシェッツ数と不動点

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題