代数的位相幾何の問題

$f^n$ のレフシェッツ数. $A\in SL(2,\mathbb{Z})$ なので $f$ は well-defined な同相写像で、$f^n$ は $A^n$ から誘導される。$T^2$ のホモロジーは $H_0\cong \mathbb{Z}$, $H_1\cong {\mathbb{Z}}^2$, $H_2\cong \mathbb{Z}$ で、$f^n$ は $H_0$ に恒等写像、$H_1$ に行列 $A^n$、$H_2$ に $\det A^n=1$ 倍で作用する。よって
$$L(f^n)=1-\mathrm{tr}{A}^n+\det A^n=\det (I-A^n)=2-\mathrm{tr}{A}^n.$$

不動点の個数. $A$ の固有値は $\lambda =\frac{3+\sqrt{5}}{2}$, ${\lambda }^{-1}$ で、いずれも 1 でないので $A^n$ も固有値 1 をもたない。$f^n$ の不動点 $p$ のまわりで $f^n$ は（局所座標で）アフィン写像 $v\mapsto A^{n}v+c$ であり、その不動点指数は $\mathrm{sign}\det (I-A^n)$ である。$\mathrm{tr}{A}^n={\lambda }^n+{\lambda }^{-n}>2$ より $\det (I-A^n)<0$ なので、すべての不動点の指数は $-1$。レフシェッツの不動点定理（指数の和 $=L(f^n)$）から
$$N_n:=\#\mathrm{Fix}(f^n)=|L(f^n)|=\mathrm{tr}{A}^n-2.$$
（直接には $\mathrm{Fix}(f^n)\cong (A^n-I{)}^{-1}{\mathbb{Z}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ で、その位数 $|\det (A^n-I)|$ としても確かめられる。）

値の計算.
$$A^2=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right),A^3=\left(\begin{array}{cc}13& 8\\ 8& 5\end{array}\right),A^6=(A^3{)}^2=\left(\begin{array}{cc}233& 144\\ 144& 89\end{array}\right).$$
よって $\mathrm{tr}A=3$, $\mathrm{tr}{A}^2=7$, $\mathrm{tr}{A}^3=18$, $\mathrm{tr}{A}^6=322$ で、
$$N_1=1,N_2=5,N_3=16,N_6=320.$$
（例えば $\det (A^6-I)=232\cdot 88-144^2=20416-20736=-320$。）

最小周期がちょうど 6 の点. $f^6(p)=p$ かつ $f^k(p)=p$ なら $f^{\gcd (k,6)}(p)=p$ である。$k=1,\dots ,5$ に対し $\gcd (k,6)\in \{1,2,3\}$ であり、$\mathrm{Fix}(f)\subset \mathrm{Fix}(f^2),\mathrm{Fix}(f^3)$、$\mathrm{Fix}(f^2)\cap \mathrm{Fix}(f^3)=\mathrm{Fix}(f)$ なので、除くべき点の集合は $\mathrm{Fix}(f^2)\cup \mathrm{Fix}(f^3)$ で、その個数は $N_2+N_3-N_1=5+16-1=20$。したがって
$$N_6-(N_2+N_3-N_1)=320-20=300.$$
（$300$ は $6$ で割り切れ、周期 6 の軌道が $50$ 本あることとも整合する。）

答えは $300$。

$A\in S{L}_2(\mathbb{Z})$ なので $f$ はトーラスの自己準同型で、$f^n$ の不動点数は $N_n=|\det (A^n-I)|$。$\det (A^n-I)=\det A^n-\mathrm{tr}{A}^n+1=2-\mathrm{tr}(A^n)$。

$A$ の固有値は ${\phi }^2,{\phi }^{-2}$（$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）なので $\mathrm{tr}{A}^n={\phi }^{2n}+{\phi }^{-2n}=L_{2n}$（リュカ数）。よって $N_n=L_{2n}-2$。

$L_2=3,L_4=7,L_6=18,L_{12}=322$ より $N_1=1,N_2=5,N_3=16,N_6=320$。

最小周期がちょうど 6 の点の個数はメビウス反転で
${\sum }_{d\mid 6}\mu (6/d)N_d=N_6-N_3-N_2+N_1=320-16-5+1=300$。

検算: 周期が 6 の約数でちょうど $d$ の点の数は $1,4,15$（$d=1,2,3$）、$d=6$ が 300 で、合計 $1+4+15+300=320=N_6$ となり一致。