代数的位相幾何の問題

正の整数 $g$ に対して ${\Sigma }_g$ を種数 $g$ の向き付け可能な閉曲面とし、正の整数 $h$ に対して $N_h$ を $h$ 個の実射影平面 $\mathbb{R}{P}^2$ の連結和として得られる向き付け不可能な閉曲面とする（$N_1=\mathbb{R}{P}^2$）。

閉曲面 $X$ と曲面 $Y$ について、「$Y$ が $X$ を被覆する」とは、$Y$ を全空間とする被覆写像 $p:Y\to X$ が存在することとする（$Y$ は連結とする）。

${\Sigma }_{13}$ と $N_{20}$ のどちらもが $N_h$ を被覆するような正の整数 $h$ をすべて求めよ。

トーラス $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の写像 $f:T^2\to T^2$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$
を用いて $f([v])=[Av]$ $(v\in {\mathbb{R}}^2)$ で定める。ここで $[v]$ は $v$ の $T^2$ における像である。$f^n$ を $f$ の $n$ 回合成とするとき、
$$f^6(p)=p\text{かつ}{f}^k(p)\ne p(k=1,2,3,4,5)$$
を満たす点 $p\in T^2$ の個数を求めよ。

${\mathbb{R}}^7$ の向き付けられた $3$ 次元線形部分空間全体のなす向き付きグラスマン多様体を ${\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7)$ とする（これは ${\mathbb{R}}^7$ の $3$ 次元線形部分空間全体のなすグラスマン多様体 $G_3({\mathbb{R}}^7)$ 上の、向きを忘れる写像による $2$ 重被覆空間である）。${\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7)$ のオイラー標数 $\chi ({\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7))$ を求めよ。

$K$ をクラインの壺、$\mathbb{R}{P}^2$ を実射影平面とし、積空間 $X=K\times \mathbb{R}{P}^2$ を考える。正の整数 $n$ に対して、整数係数ホモロジー群 $H_n(X;\mathbb{Z})$ のねじれ部分群（有限位数の元全体のなす部分群）の位数を $t_n$ とする（ねじれ部分群が自明なら $t_n=1$ とする）。組 $(t_1,t_2,t_3)$ を求めよ。

${\Sigma }_2$ を種数 $2$ の向き付け可能な閉曲面とする。連結な $3$ 重被覆空間 $p:Y\to {\Sigma }_2$（$Y$ は連結で、各点の逆像がちょうど $3$ 点）を考える。ここで $2$ つの被覆 $p:Y\to {\Sigma }_2$, $p^{\prime }:Y^{\prime }\to {\Sigma }_2$ が同型であるとは、同相写像 $h:Y\to Y^{\prime }$ で $p^{\prime }\circ h=p$ をみたすものが存在することとする（基点は考えない）。

同型を除いて、連結な $3$ 重被覆空間は何個あるか。