代数的位相幾何の問題

$G_3({\mathbb{R}}^7)$ のオイラー標数. $G_k({\mathbb{R}}^n)$ はシューベルト胞体による CW 分割をもち、胞体は $k\times (n-k)$ の長方形に収まるヤング図形（分割）$\lambda =({\lambda }_1\ge \cdots \ge {\lambda }_k\ge 0)$, ${\lambda }_1\le n-k$ と $1$ 対 $1$ に対応し、その次元は $|\lambda |={\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_k$ である。したがって
$$\chi (G_k({\mathbb{R}}^n))=\sum _{\lambda }(-1{)}^{|\lambda |}.$$

$k=3$, $n-k=4$ のとき、$3\times 4$ の長方形に収まる分割を大きさ $m=|\lambda |$ ごとに数えると
- $m=0$: $\varnothing$ … $1$ 個
- $m=1$: $(1)$ … $1$ 個
- $m=2$: $(2),(1,1)$ … $2$ 個
- $m=3$: $(3),(2,1),(1,1,1)$ … $3$ 個
- $m=4$: $(4),(3,1),(2,2),(2,1,1)$ … $4$ 個
- $m=5$: $(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1)$ … $4$ 個
- $m=6$: $(4,2),(4,1,1),(3,3),(3,2,1),(2,2,2)$ … $5$ 個
- $m=7,\dots ,12$: 補図形 $\lambda \mapsto (4-{\lambda }_3,4-{\lambda }_2,4-{\lambda }_1)$ により $m$ と $12-m$ の個数は等しく、$4,4,3,2,1,1$ 個

（合計 $35=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)$ 個で確かに全部である。）よって
$$\chi (G_3({\mathbb{R}}^7))=1-1+2-3+4-4+5-4+4-3+2-1+1=3.$$

（別解: これはガウスの二項係数 ${\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right]}_q=\frac{(1-q^7)(1-q^6)(1-q^5)}{(1-q)(1-q^2)(1-q^3)}$ の $q=-1$ での値で、$\frac{1-q^6}{1-q^2}=1+q^2+q^4\to 3$, 残りの因子は $\frac{2\cdot 2}{2\cdot 2}=1$ なので $3$。）

2 重被覆. 向きを忘れる写像 ${\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7)\to G_3({\mathbb{R}}^7)$ は $2$ 重被覆である。有限 CW 複体の $m$ 重被覆では、胞体をそれぞれ $m$ 個に持ち上げた CW 構造がとれるので、オイラー標数は $m$ 倍になる。よって
$$\chi ({\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7))=2\cdot 3=6.$$

答えは $6$。

グラスマン多様体 $G_k({\mathbb{R}}^n)$ のオイラー標数は、$n$ が奇数のとき $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{(n-1)/2}{\lfloor k/2\rfloor }\right)$ である（トーラス作用の固定点、または Schubert 胞体の偶数次元と奇数次元の数の差から）。$n=7,k=3$ では $\chi (G_3({\mathbb{R}}^7))=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3$。

${\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7)\to G_3({\mathbb{R}}^7)$ は $2$ 重被覆なので $\chi ({\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7))=2\cdot 3=6$。

検算: $G_3({\mathbb{R}}^7)$ の Schubert 胞体は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$ 個で、$\mathbb{Z}/2$ 係数で次元 $d$ の胞体数の交代和を計算すると $3$ になる（例えば ${\mathbb{R}}^7$ の座標の符号反転の作用による固定点が $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\cdot$ 型に数えられる）。