代数的位相幾何の問題

${\mathbb{R}}^7$ の向き付けられた $3$ 次元線形部分空間全体のなす向き付きグラスマン多様体を ${\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7)$ とする（これは ${\mathbb{R}}^7$ の $3$ 次元線形部分空間全体のなすグラスマン多様体 $G_3({\mathbb{R}}^7)$ 上の、向きを忘れる写像による $2$ 重被覆空間である）。${\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7)$ のオイラー標数 $\chi ({\tilde{G}}_3({\mathbb{R}}^7))$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^9$ の部分空間の組 $(V,W)$ で
$$V\subset W\subset {\mathbb{R}}^9,\dim V=2,\dim W=5$$
をみたすもの全体を $F$ とする。$F$ には実部分旗多様体としての自然な位相（$G{L}_9(\mathbb{R})$ の等質空間としての位相）を入れる。$F$ はコンパクトな $26$ 次元の滑らかな多様体である。

$F$ のオイラー標数 $\chi (F)$ を求めよ。

有限 CW 複体 $X$ は、$0$ 胞体を $4$ 個、$1$ 胞体を $7$ 個、$2$ 胞体を $5$ 個、$3$ 胞体を $1$ 個もち、それ以外の次元の胞体をもたない。$X$ のオイラー標数 $\chi (X)$ を求めよ。

トーラス $T^2={\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$ 上の同相写像 $f:T^2\to T^2$ を、行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$$
を用いて $f([v])=[Av]$ と定める。$f$ の写像トーラス
$$M=T^2\times [0,1]/((x,0)\sim (f(x),1))$$
を考え、射影 $T^2\times [0,1]\to [0,1]$ から誘導される写像 $q:M\to S^1=[0,1]/(0\sim 1)$ が基本群に誘導する全射準同型を $\phi :{\pi }_1(M)\to {\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ とする。

$p:Y\to M$ を、部分群 ${\phi }^{-1}(3\mathbb{Z})\subset {\pi }_1(M)$ に対応する連結な被覆空間とする（$p_{\ast }{\pi }_1(Y)={\phi }^{-1}(3\mathbb{Z})$）。${\pi }_1(Y)$ のアーベル化 ${\pi }_1(Y{)}^{\mathrm{ab}}$ のねじれ部分群（有限位数の元全体のなす部分群）の位数を求めよ。

$3$ 次元複素射影空間 $\mathbb{C}{P}^3$ 上の連続写像 $f:\mathbb{C}{P}^3\to \mathbb{C}{P}^3$ を
$$f([z_0:z_1:z_2:z_3])=[{\overline{z_0}}^2:{\overline{z_1}}^2:{\overline{z_2}}^2:{\overline{z_3}}^2]$$
で定める（$\overline{z}$ は $z$ の複素共役）。$f$ のレフシェッツ数 $L(f)={\sum }_k(-1{)}^k\mathrm{tr}(f_{\ast }:H_k(\mathbb{C}{P}^3;\mathbb{Q})\to H_k(\mathbb{C}{P}^3;\mathbb{Q}))$ を求めよ。