代数的位相幾何の問題

方針. 円周群 $S^1$ の滑らかな作用を使う。コンパクトな多様体 $X$ に $S^1$ が滑らかに作用するとき、
$$\chi (X)=\chi (X^{S^1})$$
が成り立つ（$X^{S^1}$ は固定点集合）。そこで、固定点が有限個になる作用を作り、その個数を数える。

作用の構成. ${\mathbb{R}}^9=\mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\oplus \mathbb{R}$ と同一視する。$t\in S^1\subset \mathbb{C}$ に対して
$$t\cdot (z_1,z_2,z_3,z_4,x)=(t{z}_1,t^2{z}_2,t^3{z}_3,t^4{z}_4,x)$$
と定める。これは $SO(9)$ への連続な準同型を与えるので、$F$ 上の滑らかな作用 $t\cdot (V,W)=(tV,tW)$ を誘導する。

不変部分空間の決定. $P_j$ を第 $j$ 成分の $\mathbb{C}$（実 $2$ 次元）、$L$ を最後の $\mathbb{R}$ とする。$P_j$ は重み $j$ の回転表現であり、実表現として既約である。また重みが相異なるので、$P_1,\dots ,P_4,L$ は互いに同型でない既約表現である。

コンパクト群の表現は完全可約なので、不変部分空間 $U$ は各等型成分との共通部分の直和になる。ここでは各等型成分が重複度 $1$ の既約表現 $P_j$ または $L$ そのものなので、$U\cap P_j$ は $0$ か $P_j$ であり、$U\cap L$ は $0$ か $L$ である。したがって $S^1$ 不変な部分空間は、$P_1,\dots ,P_4,L$ のいくつかの直和に限られる。

固定点の数え上げ. $(V,W)$ が固定点であることは、$V,W$ がともに不変であることと同値である。
- $\dim V=2$ の不変部分空間は、$P_j$ たち（各 $2$ 次元）と $L$（$1$ 次元）の和で次元 $2$ になるものである。したがって、ある $1$ つの $P_a$ に限られ、$4$ 通りある。
- $\dim W=5$（奇数）の不変部分空間は、$L$ と $2$ つの $P_j$ の和である。$V=P_a\subset W$ なので、$W=P_a\oplus P_b\oplus L$（$b\ne a$）となり、$b$ の選び方は $3$ 通りある。

よって固定点集合は $4\cdot 3=12$ 点からなる有限集合であり、
$$\chi (F)=\chi (F^{S^1})=12.$$

検算（ファイバー束による）. 射影 $(V,W)\mapsto W$ は、ファイバーが $W\cong {\mathbb{R}}^5$ 内の $2$ 次元部分空間全体 ${\mathrm{Gr}}_2({\mathbb{R}}^5)$ である局所自明なファイバー束 $F\to {\mathrm{Gr}}_5({\mathbb{R}}^9)$ を与える。底空間とファイバーはコンパクトな多様体なので、オイラー標数は乗法的である。

同じ $S^1$ 作用の方法で各因子を求める。
- ${\mathrm{Gr}}_5({\mathbb{R}}^9)$ の固定点は $W=P_a\oplus P_b\oplus L$ の形で、$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ 個ある。
- ${\mathrm{Gr}}_2({\mathbb{R}}^5)$ では ${\mathbb{R}}^5=\mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\oplus \mathbb{R}$ に同様の作用を考える。固定点は $2$ つの平面のどちらかで、$2$ 個ある。

したがって $\chi (F)=6\cdot 2=12$ となり、上の結果と一致する。

答え: $\chi (F)=12$

$F$ から $W$ を対応させる写像 $F\to Gr(5,9;\mathbb{R})$ は、ファイバーが $Gr(2,W)\cong Gr(2,5;\mathbb{R})$ のファイバー束である。したがって $\chi (F)=\chi (Gr(2,5;\mathbb{R}))\cdot \chi (Gr(5,9;\mathbb{R}))$ が成り立つ。

実グラスマン多様体 $Gr(k,n;\mathbb{R})$ のオイラー標数は次のとおり。
- $n$ が偶数で $k$ が奇数のとき $0$
- それ以外のとき $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor k/2\rfloor }\right)$

これは、トーラス作用の固定点（または胞体分割の偶数次元胞体と奇数次元胞体の数の差）から導かれる。

これを使うと次のようになる。
- $\chi (Gr(2,5))=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)=2$
- $\chi (Gr(5,9))=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$

よって $\chi (F)=2\cdot 6=12$。

検算として次元を確かめる。$\dim Gr(2,5)=6$、$\dim Gr(5,9)=20$ で、合計 $26$ となり問題文と一致する。また上の公式は、$Gr(1,5)={\mathbb{RP}}^4$ で $\chi =1$、$Gr(2,4)$ で $\chi =2$ という既知の値とも合う。